《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

[多选题]下列各组对象中能构成集合的是（ ）
A. 中国各地的美丽乡村
B. 平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C. 大于3且小于10的所有整数
D. 截至2024年1月，获得国家最高科学技术奖的科学工作者

答案： BCD
解析：选项A“美丽”不具有确定性，不能构成集合；选项B“横、纵坐标相等的点”具有确定性，能构成集合；选项C“大于3且小于10的所有整数”为$4,5,6,7,8,9$，具有确定性，能构成集合；选项D“截至2024年1月获得国家最高科学技术奖的科学工作者”具有确定性，能构成集合，故选BCD。

已知集合$A$只含有两个元素1和$a^{2}$，若$a\in A$，则实数$a$的值为______．

答案： -1
解析：因为$a\in A$，集合$A$含有元素1和$a^{2}$，所以$a=1$或$a=a^{2}$。当$a=1$时，$a^{2}=1$，集合$A$中有两个相同元素，不符合互异性，舍去；当$a=a^{2}$时，$a=0$或$a=1$（$a=1$舍去），$a=0$时，集合$A=\{1,0\}$，符合题意，故$a=-1$。

已知集合$A$中有$0,m,m^{2}-3m+2$三个元素，且$2\in A$，则实数$m$为（ ）
A. 2 或 3
B. 3
C. 0 或 3
D. 0 或 2 或 3

答案： B
解析：因为$2\in A$，所以$m=2$或$m^{2}-3m+2=2$。当$m=2$时，$m^{2}-3m+2=4 - 6 + 2=0$，集合$A=\{0,2,0\}$，不符合互异性，舍去；当$m^{2}-3m+2=2$时，$m^{2}-3m=0$，$m(m - 3)=0$，$m=0$或$m=3$。$m=0$时，集合$A=\{0,0,2\}$，不符合互异性，舍去；$m=3$时，集合$A=\{0,3,2\}$，符合题意，故选B。

例3 已知不等式$2x - 5\lt0$的解集为$M$，则以下表示方法中正确的是（ ）
A. $0\in M,3\in M$
B. $0otin M,3\in M$
C. $0\in M,3otin M$
D. $0otin M,3otin M$

答案： C
解析：解不等式$2x - 5\lt0$，得$x\lt\frac{5}{2}$，所以$M=\{x|x\lt\frac{5}{2}\}$。$0\lt\frac{5}{2}$，所以$0\in M$；$3\gt\frac{5}{2}$，所以$3otin M$，故选C。

[多选题]下列结论中，不正确的是（ ）
A. 若$a\in\mathbf{N}$，则$-aotin\mathbf{N}$
B. 若$a\in\mathbf{Z}$，则$a^{2}\in\mathbf{Z}$
C. 若$a\in\mathbf{Q}$，则$|a|\in\mathbf{Q}$
D. 若$a\in\mathbf{R}$，则$a^{3}\in\mathbf{R}$

答案： A
解析：选项A，当$a=0\in\mathbf{N}$时，$-a=0\in\mathbf{N}$，所以A错误；选项B，整数的平方仍是整数，B正确；选项C，有理数的绝对值仍是有理数，C正确；选项D，实数的立方仍是实数，D正确，故选A。

设集合$B$是小于$\sqrt{11}$的所有实数的集合，则$2\sqrt{3}$______$B$，$1+\sqrt{2}$______$B$．（用符号“$\in$”或“$otin$”填空）

答案： $otin$；$\in$
解析：$\sqrt{11}\approx3.316$，$2\sqrt{3}\approx3.464\gt3.316$，所以$2\sqrt{3}otin B$；$1+\sqrt{2}\approx1 + 1.414=2.414\lt3.316$，所以$1+\sqrt{2}\in B$。