《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 (1)下列函数为幂函数的是（ ）
A. $ y=2x^{3} $ B. $ y=2x^{3}-1 $ C. $ y=\frac{2}{x} $ D. $ y=x^{2} $

答案： D
解析：幂函数的形式为$ y=x^{\alpha} $（$ \alpha $为常数），系数为1.选项A系数为2，B不是幂的形式，C可化为$ y=2x^{-1} $系数为2，D符合$ y=x^{2} $，故选D.

(2)若函数$ y=(m^{2}+2m - 2)x^{m} $为幂函数且在第一象限内单调递增，则$ m $的值为（ ）
A. 1 B. -3 C. -1 D. 3

答案： A
解析：因为是幂函数，所以$ m^{2}+2m - 2=1 $，即$ m^{2}+2m - 3=0 $，解得$ m=1 $或$ m=-3 $.又在第一象限内单调递增，所以$ m＞0 $，故$ m=1 $，选A.

活学活用 (1)已知幂函数$ f(x)=kx^{\alpha}(k\in\mathbf{R},\alpha\in\mathbf{R}) $的图象过点$ \left(\frac{1}{2},\sqrt{2}\right) $，则$ k+\alpha $等于（ ）
A. $ \frac{1}{2} $ B. 1 C. $ \frac{3}{2} $ D. 2

答案： A
解析：因为是幂函数，所以$ k=1 $.图象过点$ \left(\frac{1}{2},\sqrt{2}\right) $，则$ \left(\frac{1}{2}\right)^{\alpha}=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{-\alpha} $，所以$ -\alpha=\frac{1}{2} $，$ \alpha=-\frac{1}{2} $，故$ k+\alpha=1 - \frac{1}{2}=\frac{1}{2} $，选A.

(2)已知函数$ f(x)=(n^{2}-2n - 2)x^{n} $，则“$ n=-1 $”是“$ f(x) $是幂函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

答案： A
解析：若$ f(x) $是幂函数，则$ n^{2}-2n - 2=1 $，解得$ n=3 $或$ n=-1 $.所以“$ n=-1 $”能推出“$ f(x) $是幂函数”，反之不成立，故是充分不必要条件，选A.