《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

用列举法表示下列集合：
（1）1～10之间的所有质数组成的集合．

答案： $\{2,3,5,7\}$
解析：1～10之间的质数为2,3,5,7，所以该集合为$\{2,3,5,7\}$。

（2）方程$x(x^{2}-1)=0$的所有实数根组成的集合．

答案： $\{-1,0,1\}$
解析：解方程$x(x^{2}-1)=0$，$x(x - 1)(x + 1)=0$，根为$x=0$或$x=1$或$x=-1$，所以该集合为$\{-1,0,1\}$。

（3）满足不等式$x^{2}+y^{2}\leq2$的整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）组成的集合．

答案： $\{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)\}$
解析：满足$x^{2}+y^{2}\leq2$的整数$x,y$有$x=-1,0,1$；$y=-1,0,1$。对应的整数点为$(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)$，所以该集合为$\{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)\}$。

用描述法表示下列集合：
（1）不等式$2x - 3\lt1$的解集$A$．

答案： $A=\{x|2x - 3\lt1\}$或$A=\{x|x\lt2\}$
解析：解不等式$2x - 3\lt1$得$x\lt2$，所以用描述法表示为$A=\{x|x\lt2\}$。

（2）$C=\{2,4,6,8,10\}$．

答案： $C=\{x|x=2n,n\in\mathbf{N}^{*}且n\leq5\}$
解析：集合$C$中的元素为2,4,6,8,10，均为偶数且小于等于10的正整数，所以可表示为$\{x|x=2n,n\in\mathbf{N}^{*}且n\leq5\}$。

（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合$D$．

答案： $D=\{(x,y)|x\lt0且y\gt0\}$
解析：第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以集合$D=\{(x,y)|x\lt0且y\gt0\}$。

用列举法表示下列集合：
（1）构成英语单词 Doctor（博士）的全部字母组成的集合为______．

答案： $\{D,o,c,t,r\}$
解析：Doctor的字母为D,o,c,t,o,r，去重后为D,o,c,t,r，所以该集合为$\{D,o,c,t,r\}$。

（2）由$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}(a,b\in\mathbf{R}$，且$abeq0)$的所有值构成的集合为______．

答案： $\{-2,0,2\}$
解析：当$a\gt0,b\gt0$时，$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=1 + 1=2$；当$a\gt0,b\lt0$时，$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=1 - 1=0$；当$a\lt0,b\gt0$时，$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=-1 + 1=0$；当$a\lt0,b\lt0$时，$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}=-1 - 1=-2$，所以该集合为$\{-2,0,2\}$。

（3）直线$y=x$与$y=2x - 1$的交点组成的集合为______．

答案： $\{(1,1)\}$
解析：联立方程$\begin{cases}y=x\\y=2x - 1\end{cases}$，解得$x=1,y=1$，所以交点组成的集合为$\{(1,1)\}$。