《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

写出下列存在量词命题的否定,并判断真假.
(1)$\exists x\in \mathbf{R},2x + 5\geqslant 0.$
(2)$\exists x\in \mathbf{R},x^{2}+3x + 2 ＜ 0.$
(3)有些分数不是有理数.

答案：
(1)$\forall x\in \mathbf{R},2x + 5 ＜ 0$，假命题；
(2)$\forall x\in \mathbf{R},x^{2}+3x + 2\geqslant 0$，假命题；
(3)所有分数都是有理数，真命题
解析：
(1)原命题的否定：$\forall x\in \mathbf{R},2x + 5 ＜ 0$。当$x=0$时，$2x + 5=5\geqslant 0$，所以该否定是假命题。
(2)原命题的否定：$\forall x\in \mathbf{R},x^{2}+3x + 2\geqslant 0$。因为$x^{2}+3x + 2=(x + 1)(x + 2)$，当$x=-1.5$时，$(x + 1)(x + 2)=(-0.5)(0.5)=-0.25 ＜ 0$，所以该否定是假命题。
(3)原命题的否定：所有分数都是有理数。因为分数的定义就是有理数的一种表现形式，所以该否定是真命题。

命题“$\exists x\in \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q},x^{3}\in \mathbf{Q}$”的否定是（ ）
A.$\exists x\in \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q},x^{3}otin \mathbf{Q}$
B.$\exists xotin \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q},x^{3}\in \mathbf{Q}$
C.$\forall xotin \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q},x^{3}otin \mathbf{Q}$
D.$\forall x\in \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q},x^{3}otin \mathbf{Q}$

答案： D
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将存在量词“$\exists$”改为全称量词“$\forall$”，并否定结论“$x^{3}\in \mathbf{Q}$”为“$x^{3}otin \mathbf{Q}$”，所以原命题的否定是$\forall x\in \complement_{\mathbf{R}}\mathbf{Q},x^{3}otin \mathbf{Q}$，答案选D。

命题“关于$x$的方程$ax^{2}-x - 2=0$在$\{x\mid x ＞ 0\}$上有解”的否定是（ ）
A.$\exists x\in \{x\mid x ＞ 0\},ax^{2}-x - 2eq 0$
B.$\forall x\in \{x\mid x ＞ 0\},ax^{2}-x - 2eq 0$
C.$\exists x\in \{x\mid x ＜ 0\},ax^{2}-x - 2=0$
D.$\forall x\in \{x\mid x ＜ 0\},ax^{2}-x - 2=0$

答案： B
解析：原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，将“在$\{x\mid x ＞ 0\}$上有解”否定为“对$\forall x\in \{x\mid x ＞ 0\}$，方程无解”，即$\forall x\in \{x\mid x ＞ 0\},ax^{2}-x - 2eq 0$，答案选B。

已知命题$p$:存在实数$x$,使不等式$x^{2}+4x - 1\leqslant m$成立.若$p$是假命题,求实数$m$的取值范围.

答案： $m ＜ - 5$
解析：因为命题$p$是假命题，所以其否定“对任意实数$x$，$x^{2}+4x - 1 ＞ m$”是真命题。$x^{2}+4x - 1=(x + 2)^{2}-5\geqslant - 5$，所以$m ＜ - 5$。

已知命题“$\forall x\in \{x\mid - 3\leqslant x\leqslant 2\}$,都有$x\in \{x\mid a - 4\leqslant x\leqslant a + 5\}$”,且该命题的否定是假命题,求实数$a$的取值范围.

答案： $- 3\leqslant a\leqslant 1$
解析：因为命题的否定是假命题，所以原命题是真命题，即$\{x\mid - 3\leqslant x\leqslant 2\}\subseteq \{x\mid a - 4\leqslant x\leqslant a + 5\}$。则有$\begin{cases}a - 4\leqslant - 3 \\a + 5\geqslant 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a\leqslant 1 \\a\geqslant - 3\end{cases}$，所以$- 3\leqslant a\leqslant 1$。