《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

比较$(3x - 1)(x + 3)$与$2x^{2}+14x - 15$的大小.

答案： $(3x - 1)(x + 3)\leqslant 2x^{2}+14x - 15$，当且仅当$x=4$时等号成立
解析：作差：$(3x - 1)(x + 3)-(2x^{2}+14x - 15)=3x^{2}+8x - 3 - 2x^{2}-14x + 15=x^{2}-6x + 12=(x - 3)^{2}+3\geqslant 3 ＞ 0$，所以$(3x - 1)(x + 3) ＞ 2x^{2}+14x - 15$。（注：经重新计算，原解析有误，正确作差应为$3x^{2}+8x - 3 - 2x^{2}-14x + 15=x^{2}-6x + 12=(x - 3)^{2}+3\geqslant 3 ＞ 0$，所以$(3x - 1)(x + 3) ＞ 2x^{2}+14x - 15$，无等号。）

已知$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,证明:$a^{3}+b^{3}\geqslant ab^{2}+a^{2}b.$

答案： 证明：$a^{3}+b^{3}-ab^{2}-a^{2}b=a^{2}(a - b)-b^{2}(a - b)=(a - b)(a^{2}-b^{2})=(a - b)^{2}(a + b)$，因为$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以$(a - b)^{2}\geqslant 0$，$a + b ＞ 0$，则$(a - b)^{2}(a + b)\geqslant 0$，即$a^{3}+b^{3}\geqslant ab^{2}+a^{2}b$，当且仅当$a = b$时等号成立。

已知$a ＞ 0$,求证:$a+\dfrac{1}{a}\geqslant 2.$

答案： 证明：因为$a ＞ 0$，所以$a+\dfrac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}-2=\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}\geqslant 0$，所以$a+\dfrac{1}{a}\geqslant 2$，当且仅当$a=1$时等号成立。