《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

若集合$A=\{x|kx^{2}-8x + 16=0\}$只有一个元素，试求实数$k$的值，并用列举法表示集合$A$．

答案： 当$k=0$时，$A=\{2\}$；当$k=1$时，$A=\{4\}$
解析：当$k=0$时，方程为$-8x + 16=0$，$x=2$，集合$A=\{2\}$；当$keq0$时，方程$kx^{2}-8x + 16=0$为一元二次方程，$\Delta=64 - 64k=0$，$k=1$，此时方程为$x^{2}-8x + 16=0$，$(x - 4)^{2}=0$，$x=4$，集合$A=\{4\}$。综上，$k=0$时$A=\{2\}$；$k=1$时$A=\{4\}$。

例3中，若集合$A$中含有2个元素，求实数$k$的取值集合．

答案： $\{k|k\lt1且keq0\}$
解析：集合$A$含有2个元素，即方程$kx^{2}-8x + 16=0$有两个不同实数根。所以$keq0$且$\Delta=64 - 64k\gt0$，$64k\lt64$，$k\lt1$，故$k$的取值集合为$\{k|k\lt1且keq0\}$。

例3中，若集合$A$中至多有一个元素，求实数$k$的取值集合．

答案： $\{k|k\geq1或k=0\}$
解析：“至多有一个元素”即有0个或1个元素。0个元素时，$keq0$且$\Delta=64 - 64k\lt0$，$k\gt1$；1个元素时，$k=0$或$k=1$。综上，$k\geq1$或$k=0$，取值集合为$\{k|k\geq1或k=0\}$。