《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用
已知$ f(x)=\begin{cases} x^2,-1\leq x\leq 1, \\ 1,x ＞ 1 或 x ＜ -1. \end{cases}$
(1)画出$ f(x) $的图象.
(2)若$ f(x)\geq \frac{1}{4} $，求$ x $的取值范围.
(3)求$ f(x) $的值域.

答案：
(1) 略（图象为：当$-1\leq x\leq1$时，是开口向上的抛物线$y=x^2$的一部分；当$x ＞ 1$或$x ＜ -1$时，是水平直线$y=1$）
(2) $ (-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty) $
解析：
(2) 当$-1\leq x\leq1$时，$f(x)=x^2\geq\frac{1}{4}$，解得$x\leq -\frac{1}{2}$或$x\geq\frac{1}{2}$，结合$-1\leq x\leq1$，得$-1\leq x\leq -\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}\leq x\leq1$；
当$x ＞ 1$或$x ＜ -1$时，$f(x)=1\geq\frac{1}{4}$恒成立。综上，$x$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},+\infty)$。
(3) $[0,1]$
解析：
(3) 当$-1\leq x\leq1$时，$0\leq x^2\leq1$；当$x ＞ 1$或$x ＜ -1$时，$f(x)=1$。综上，$f(x)$的值域为$[0,1]$。

例3 某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费的办法.若某户居民每月应缴电费$ y $（元）关于用电量$ x $（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解答下列问题：
(1)求$ y $关于$ x $的函数解析式.
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准.
(3)若某用户某月用电62度，则该用户应缴费多少元？若某用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？

答案：
(1) $ y=\begin{cases} 0.65x,0\leq x\leq100, \\ 0.8x - 15,x ＞ 100 \end{cases}$
解析：
(1) 设当$0\leq x\leq100$时，$y=kx$，将$(100,65)$代入，得$100k=65$，解得$k=0.65$，所以$y=0.65x$；
设当$x ＞ 100$时，$y=mx + n$，将$(100,65)$，$(130,89)$代入，得$\begin{cases}100m + n=65 \\130m + n=89\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=0.8 \=-15\end{cases}$，所以$y=0.8x - 15$。
(2) 当每月用电量不超过100度时，每度电0.65元；当每月用电量超过100度时，前100度每度0.65元，超过100度的部分每度0.8元。
(3) 用电62度应缴费40.3元；缴费105元用电150度
解析：
(3) 当$x=62$时，$y=0.65×62=40.3$（元）；
当$y=105$时，因为$105 ＞ 65$，所以$0.8x - 15=105$，解得$x=150$（度）。

活学活用
某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米$ m $元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米$ 2m $元收费.则该单位职工每月应缴水费$ y $（元）与实际用水量$ x $（立方米）间满足的函数关系式是______.若某职工某月缴水费$ 16m $元，则该职工这个月的实际用水量为______立方米.

答案： $ y=\begin{cases} mx,0\leq x\leq10, \\ 2mx - 10m,x ＞ 10 \end{cases}$，13
解析：当$0\leq x\leq10$时，$y=mx$；当$x ＞ 10$时，$y=10m + 2m(x - 10)=2mx - 10m$。
当$y=16m$时，因为$16m ＞ 10m$，所以$2mx - 10m=16m$，解得$x=13$。