《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用 判断下列函数的奇偶性：(1)$f(x)=\frac{2x^{2}+2x}{x + 1}$。(2)$f(x)=\begin{cases}x(1 - x),x ＜ 0\\x(1 + x),x ＞ 0\end{cases}$。

答案：
(1)非奇非偶函数
解析：定义域为$\{x|xeq - 1\}$，不关于原点对称，所以非奇非偶函数。
(2)奇函数
解析：定义域关于原点对称，当$x ＞ 0$时，$-x ＜ 0$，$f(-x)=-x(1 - (-x))=-x(1 + x)=-f(x)$；当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，$f(-x)=-x(1 + (-x))=-x(1 - x)=-f(x)$，所以是奇函数。

例2 已知函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x\leq0$时，$f(x)=x^{2}+2x$。现已画出函数$f(x)$在$y$轴左侧的图象，如图所示。(1)请补全函数$y = f(x)$的图象。(2)根据图象写出函数$y = f(x)$的单调递增区间。(3)根据图象写出使$f(x)＜0$的$x$的取值集合。

答案：
(1)图象关于$y$轴对称，右侧图象为左侧图象关于$y$轴的对称图形。
(2)$(-1,0)$，$(1,+\infty)$
解析：当$x\leq0$时，$f(x)=x^{2}+2x=(x + 1)^{2}-1$，对称轴为$x=-1$，在$(-1,0)$上递增；偶函数关于$y$轴对称，所以在$(1,+\infty)$上递增。
(3)$(-2,0)\cup(0,2)$
解析：当$x\leq0$时，$f(x)=x^{2}+2x ＜ 0$，解得$-2 ＜ x ＜ 0$；由对称性，当$x ＞ 0$时，$0 ＜ x ＜ 2$，所以取值集合为$(-2,0)\cup(0,2)$。

活学活用 如图，这是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上的图象。(1)补全$f(x)$的图象。(2)解不等式$xf(x)＞0$。

答案：
(1)图象关于原点对称，补全左侧图象为右侧图象关于原点的对称图形。
(2)$(-2,0)\cup(0,2)$
解析：$xf(x)＞0$等价于$\begin{cases}x ＞ 0\\f(x)＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x ＜ 0\\f(x)＜0\end{cases}$。由图象知，当$0 ＜ x ＜ 2$时，$f(x)＞0$；当$-2 ＜ x ＜ 0$时，$f(x)＜0$，所以解集为$(-2,0)\cup(0,2)$。