《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 (1)设函数$y = f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f(xy)=f(x)+f(y)$，若$f(8)=3$，则$f(\sqrt{2})=$______。(2)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(1)=1$，且$f(x + y)=f(x)+f(y)+1$，则$f(4)=$______。

答案：
(1)$\frac{1}{2}$
解析：$f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2×2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3$，$f(2)=1$。$f(2)=f(\sqrt{2}×\sqrt{2})=2f(\sqrt{2})=1$，所以$f(\sqrt{2})=\frac{1}{2}$。
(2)7
解析：$f(2)=f(1 + 1)=f(1)+f(1)+1=3$，$f(4)=f(2 + 2)=f(2)+f(2)+1=7$。

例2 已知定义在$(0,+\infty)$上的函数$f(x)$对于$\forall x,y\in(0,+\infty)$，都满足$f(x)+f(y)=f(xy)+3$，且当$x\in(0,1)$时，$f(x)＜3$。(1)求$f(1)$的值。(2)根据定义，研究$f(x)$在$(0,+\infty)$上的单调性。

答案：
(1)3
解析：令$x = y = 1$，则$f(1)+f(1)=f(1×1)+3$，$2f(1)=f(1)+3$，$f(1)=3$。
(2)单调递增
解析：任取$x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，设$x_{1}=x_{2}× t$，$t\in(0,1)$，则$f(x_{1})=f(x_{2}× t)=f(x_{2})+f(t)-3$。因为$t\in(0,1)$，$f(t)＜3$，所以$f(x_{1})=f(x_{2})+(f(t)-3)＜f(x_{2})$，即$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。

例3 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2$，$f(0)＜f(1)$，且$f(x)＞0$。(1)求$f(-1)$的值。(2)判断$f(x)$的奇偶性，并证明。

答案：
(1)1
解析：令$x = y = 0$，$f(0)=f(0)^{2}-2f(0)+2$，$f(0)^{2}-3f(0)+2=0$，$f(0)=1$或$2$。令$x = y = 1$，$f(1)=f(1)^{2}-2f(1)+2$，$f(1)^{2}-3f(1)+2=0$，$f(1)=1$或$2$。因为$f(0)＜f(1)$，所以$f(0)=1$，$f(1)=2$。令$y = -1$，$x = 1$，$f(-1)=f(1)f(-1)-f(1)-f(-1)+2$，$f(-1)=2f(-1)-2 - f(-1)+2$，解得$f(-1)=1$。
(2)偶函数
证明：令$y=-1$，则$f(-x)=f(x)f(-1)-f(x)-f(-1)+2=f(x)×1 - f(x)-1 + 2=1$，即$f(-x)=f(x)$，所以$f(x)$为偶函数。

活学活用 已知函数$f(x)$满足$\forall x,y\in\mathbf{R}$，$f(x + y)=f(x)+f(y)$，$f(1)=1$，则$f(-2)=$（ ）A.0 B.1 C.-2 D.2

答案： C
解析：令$x = y = 0$，$f(0)=0$；令$y=-x$，$f(0)=f(x)+f(-x)$，$f(-x)=-f(x)$，奇函数。$f(2)=f(1 + 1)=2f(1)=2$，$f(-2)=-f(2)=-2$，选C。