《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题】分解因式：
(1) $ x^2 - \frac{1}{36}y^2 $；
(2) $ 9a^2 - 16b^2 $；
(3) $ -4a^2b^2 + 1 $；
(4) $ 9(a + 2b)^2 - 4(a - b)^2 $。

答案： 思路导引 先整理成两数平方差的形式,再运用平方差公式进行因式分解。
【解】
(1) $ x^2 - \frac{1}{36}y^2 $
$ = x^2 - (\frac{1}{6}y)^2 $
$ = (x + \frac{1}{6}y)(x - \frac{1}{6}y) $。
(2) $ 9a^2 - 16b^2 $
$ = (3a)^2 - (4b)^2 $
$ = (3a + 4b)(3a - 4b) $。
(3) $ -4a^2b^2 + 1 $
$ = 1 - 4a^2b^2 $
$ = (1 + 2ab)(1 - 2ab) $。
(4) $ 9(a + 2b)^2 - 4(a - b)^2 $
$ = [3(a + 2b)]^2 - [2(a - b)]^2 $
$ = [3(a + 2b) + 2(a - b)][3(a + 2b) - 2(a - b)] $
$ = (5a + 4b)(a + 8b) $。

1. 如果实数 $ x $,$ y $ 满足方程组 $ \begin{cases} x - y = -\frac{1}{2}, \\ 2x + 2y = 5, \end{cases} $ 那么 $ x^2 - y^2 $ 的值为$-\frac{5}{4}$（或填$-1.25$）。

答案： $-\frac{5}{4}$（或填$-1.25$）。

2. 分解因式：
(1) $ 16 - 9a^2 $；
(2) $ 4m^2 - n^2 $；
(3) $ (a - b)^2 - 4b^2 $；
(4) $ 36(x - y)^2 - x^4 $。

答案：
(1)
解：原式 $16 - 9a^2$
$= (4)^2 - (3a)^2$
$= (4 + 3a)(4 - 3a)$
(2)
解：原式 $4m^2 - n^2$
$= (2m)^2 - n^2$
$= (2m + n)(2m - n)$
(3)
解：原式 $(a - b)^2 - 4b^2$
$= (a - b)^2 - (2b)^2$
$= (a - b + 2b)(a - b - 2b)$
$= (a + b)(a - 3b)$
(4)
解：原式 $36(x - y)^2 - x^4$
$= \left[6(x - y)\right]^2 - (x^2)^2$
$= \left[6(x - y) + x^2\right]\left[6(x - y) - x^2\right]$
$= (x^2 + 6x - 6y)(-x^2 + 6x - 6y)$
$= - (x^2 + 6x - 6y)(x^2 - 6x + 6y)$