《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

7. 若代数式$$ \frac{x + 2}{(x - 1)^{2}} $$有意义,则$$ x $$的取值范围是$x\neq1$。

答案： $x\neq1$

8. (1)若分式$$ \frac{x^{2} + 3}{4x + 9} $$的值为正数,求$$ x $$的取值范围。
(2)若分式$$ \frac{x - 2}{2x + 6} $$的值为负数,求$$ x $$的取值范围。

答案：
(1)
因为分式$\frac{x^{2} + 3}{4x + 9}$的值为正数，
且$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+3\gt0$，
要使分式值为正，则分母$4x + 9\gt0$，
解得$x\gt-\frac{9}{4}$。
(2)
因为分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，
所以$(x - 2)$与$(2x + 6)$异号，
则有$\begin{cases}x - 2\gt0\\2x + 6\lt0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 2\lt0\\2x + 6\gt0\end{cases}$
由$\begin{cases}x - 2\gt0\\2x + 6\lt0\end{cases}$，
即$\begin{cases}x\gt2\\x\lt - 3\end{cases}$，无解；
由$\begin{cases}x - 2\lt0\\2x + 6\gt0\end{cases}$，
即$\begin{cases}x\lt2\\x\gt - 3\end{cases}$，
解得$-3\lt x\lt2$。
综上，
(1)中$x$的取值范围是$x\gt-\frac{9}{4}$；
(2)中$x$的取值范围是$-3\lt x\lt2$。

9. 当$$ x = 1 $$时,分式$$ \frac{x + a}{2x - b} $$无意义,当$$ x = - 1 $$时,分式$$ \frac{x + a}{2x - b} $$的值为 0,求$$ a + b $$的值。

答案： $3$

【典型例题】填空：(1)$\dfrac{3c}{2ab}= \dfrac{15ac}{($10a^{2}b$)}$；
(2)$\dfrac{3xy}{x^{2}-2x}= \dfrac{($3y$)}{x - 2}$；(3)$\dfrac{3ab}{a + b}= \dfrac{6a^{2}b}{($2a^{2}+2ab$)}$；
(4)$\dfrac{m - n}{m + n}= \dfrac{($m^{2}-2mn + n^{2}$)}{m^{2}-n^{2}}(m\neq n)$.

答案： 思路导引 紧扣分式的基本性质进行观察、分析,通过比较先确定等式两边分式的分子、分母发生了怎样的变化,再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
【解析】
(1)分子与分母都乘$5a$,得$\dfrac{3c}{2ab}= \dfrac{15ac}{10a^{2}b}$,所以括号中应填$10a^{2}b$.
(2)分子与分母都除以$x$,得$\dfrac{3xy}{x^{2}-2x}= \dfrac{3y}{x - 2}$,所以括号中应填$3y$.
(3)分子与分母都乘$2a$,得$\dfrac{3ab}{a + b}= \dfrac{6a^{2}b}{2a^{2}+2ab}$,所以括号中应填$2a^{2}+2ab$.
(4)分子与分母都乘$(m - n)$,得$\dfrac{m - n}{m + n}= \dfrac{m^{2}-2mn + n^{2}}{m^{2}-n^{2}}$,所以括号中应填$m^{2}-2mn + n^{2}$.
【答案】
(1)$10a^{2}b$
(2)$3y$
(3)$2a^{2}+2ab$
(4)$m^{2}-2mn + n^{2}$