《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

2. 如图,$BD$ 是等边三角形 $ABC$ 的边 $AC$ 上的高,以点 $D$ 为圆心,$DB$ 的长为半径作弧交 $BC$ 的延长线于点 $E$,则 $\angle DEC$ 为(C)

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： C

3. 由于普通的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作,小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可。衣架杆 $OA = OB = 18\ cm$,若衣架收拢时如图所示,$\angle AOB = 60^{\circ}$,则此时 $A$,$B$ 两点间的距离是18$cm$。

答案： $18$

4. 将含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知 $\angle\alpha = 60^{\circ}$,点 $B$,$C$ 表示的刻度分别为 $1\ cm$,$3\ cm$,则线段 $AB$ 的长为2$cm$。

答案： 2

5. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AD$ 是角平分线,$\triangle ADE$ 是等边三角形,下列结论：①$AD\perp BC$；②$EF = FD$；③$BE = BD$。其中正确的个数为(A)

A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

答案： A

6. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,点 $D$ 在 $BC$ 边的延长线上,$CE$ 平分 $\angle ACD$,且 $CE = BD$。求证：$\triangle ADE$ 是等边三角形。

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠ACD=180°-∠ACB=120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD/2=60°，即∠ACE=∠ABC=60°．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠ABD=∠ACE=60°，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∵∠DAE=∠BAC+∠CAE-∠BAD，且∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=60°．
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

7. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,点 $M$ 为 $AB$ 边上任意一点,延长 $BC$ 至点 $N$,使 $CN = AM$,连接 $MN$ 交 $AC$ 于点 $P$,$MH\perp AC$ 于点 $H$。
(1) 求证 $MP = NP$；
(2) 若 $AB = a$,求线段 $PH$ 的长(结果用含 $a$ 的代数式表示)。

答案：
(1) 过点 $ M $ 作 $ MQ // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ Q $。
∵ $ \triangle ABC $ 是等边三角形，
∴ $ \angle A = \angle ACB = 60° $，$ AB = AC = BC $。
∵ $ MQ // BC $，
∴ $ \angle AMQ = \angle B = 60° $，$ \angle AQM = \angle ACB = 60° $，
∴ $ \triangle AMQ $ 是等边三角形，
∴ $ AM = MQ = AQ $。
∵ $ CN = AM $，
∴ $ MQ = CN $。
∵ $ MQ // BC $，
∴ $ \angle QMP = \angle CNP $，$ \angle MQP = \angle NCP $。
在 $ \triangle MQP $ 和 $ \triangle NCP $ 中，
$ \begin{cases} \angle QMP = \angle CNP \\MQ = CN \\\angle MQP = \angle NCP \end{cases} $，
∴ $ \triangle MQP \cong \triangle NCP (ASA) $，
∴ $ MP = NP $。
(2)
∵ $ \triangle AMQ $ 是等边三角形，$ MH \perp AC $，
∴ $ H $ 为 $ AQ $ 中点，
∴ $ AH = HQ = \frac{1}{2}AQ $。设 $ AM = x $，则 $ AQ = x $，$ HQ = \frac{x}{2} $。
∵ $ AC = AB = a $，
∴ $ QC = AC - AQ = a - x $。
∵ $ \triangle MQP \cong \triangle NCP $，
∴ $ QP = PC $，
∴ $ QP = \frac{1}{2}QC = \frac{a - x}{2} $。
∴ $ PH = HQ + QP = \frac{x}{2} + \frac{a - x}{2} = \frac{a}{2} $。
(1) 证明完毕；
(2) $ PH = \frac{a}{2} $。