《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

8. 已知$2^{a} = 5$,$4^{b} = 7$,则$2^{a + 2b}$的值是(A)
A.35
B.19
C.12
D.10

答案： A

9. 若$x^{n} = 2$,$y^{n} = 3$,则$(xy)^{2n} = $36。

答案： 36

10. 用简便方法计算下列各题：
(1)$-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{99}$；
(2)$2^{4}×4^{5}×(\frac{1}{8})^{4}$。

答案：
(1)
$-2^{100} × 0.5^{100} × (-1)^{99}$
$=-(2× 0.5)^{100}× (-1)$
$=-1^{100}× (-1)$
$=-1× (-1)$
$= 1$
(2)
$2^{4} × 4^{5} × (\frac{1}{8})^{4}$
$=2^{4} × (2^{2})^{5} × (2^{-3})^{4}$
$=2^{4} × 2^{10} × 2^{-12}$
$=2^{4 + 10 - 12}$
$=2^{2}$
$= 4$

11. 求代数式的值：$(-x)^{3}·(x^{2})^{5}·x - (-x^{4})^{2}·x^{6}$,其中$x = -1$。

答案： 首先，对代数式进行化简：
$(-x)^{3} \cdot (x^{2})^{5} \cdot x - (-x^{4})^{2} \cdot x^{6}$
$= (-1)^{3} \cdot x^{3} \cdot x^{10} \cdot x - (-1)^{2} \cdot x^{8} \cdot x^{6}$
$= -x^{3+10+1} - x^{8+6}$
$= -x^{14} - x^{14}$
$= -2x^{14}$
然后，将 $x = -1$ 代入化简后的代数式：
$-2x^{14} = -2 × (-1)^{14}$
$= -2 × 1$
$= -2$
故原式的值为 $-2$。

12. 已知$a^{2n + 1} = 5$,$a^{n} = 2$,求$a$的值。

答案： 因为$a^{2n + 1}=a^{2n}\cdot a=(a^{n})^{2}\cdot a$，已知$a^{n}=2$，所以$(a^{n})^{2}=2^{2}=4$，则$a^{2n + 1}=4a$。又因为$a^{2n + 1}=5$，所以$4a=5$，解得$a=\frac{5}{4}$。
$\frac{5}{4}$

13. 已知$32^{m} = 4×2^{2n - 1}$,$3^{n} = 9^{m}$,求$m$,$n$的值。

答案： 由$32^{m} = 4×2^{2n - 1}$，得$(2^5)^m=2^2×2^{2n - 1}$，即$2^{5m}=2^{2n + 1}$，故$5m=2n + 1$；
由$3^{n} = 9^{m}$，得$3^n=(3^2)^m$，即$3^n=3^{2m}$，故$n=2m$；
联立方程组$\begin{cases}5m=2n + 1\\n=2m\end{cases}$，将$n=2m$代入$5m=2n + 1$，得$5m=4m + 1$，解得$m=1$；
将$m=1$代入$n=2m$，得$n=2$。
综上，$m=1$，$n=2$。

14. 比较大小：
(1)比较$3^{55}$,$4^{44}$,$5^{33}$的大小；
(2)已知$a = 16^{6}$,$b = 8^{9}$,$c = 4^{13}$,试比较$a$,$b$,$c$的大小。

答案：
(1) $3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$，$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$，$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$。
因为$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$。
(2) $a=16^6=(2^4)^6=2^{24}$，$b=8^9=(2^3)^9=2^{27}$，$c=4^{13}=(2^2)^{13}=2^{26}$。
因为$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$。