《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

7. 如图,$AE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,点 $D$ 在边 $AB$ 上,$AD = 2BD$,$CD$ 与 $AE$ 交于点 $F$,设 $\triangle ADF$ 的面积为 $S_1$,$\triangle CEF$ 的面积为 $S_2$,若 $S_{\triangle ABC}= 9$,则 $S_1 - S_2 = ($C$)$

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$

答案： 1. 首先，根据中线的性质：
因为$AE$是$\triangle ABC$的中线，所以$BE = CE$，那么$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$（等底同高的三角形面积相等）。
已知$S_{\triangle ABC}=9$，则$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}×9 = 4.5$。
2. 然后，根据$AD = 2BD$：
因为$AD = 2BD$，所以$S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}$（等高的三角形面积比等于底边比）。
计算可得$S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}×9 = 6$。
3. 接着，分析$S_1 - S_2$：
由$S_{\triangle ACD}-S_{\triangle ACE}=(S_1 + S_{\triangle ACF})-(S_2 + S_{\triangle ACF})$。
根据三角形面积的和差关系，$S_{\triangle ACD}-S_{\triangle ACE}=S_1 - S_2$。
4. 最后，计算$S_1 - S_2$的值：
把$S_{\triangle ACD}=6$，$S_{\triangle ACE}=4.5$代入$S_{\triangle ACD}-S_{\triangle ACE}=S_1 - S_2$，得$S_1 - S_2=6 - 4.5=1.5=\frac{3}{2}$。
所以$S_1 - S_2=\frac{3}{2}$，答案是C。

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle 1 = \angle 2$,$G$ 是 $AD$ 的中点,延长 $BG$ 交 $AC$ 于点 $E$,$F$ 为 $AB$ 上一点,$CF\perp AD$ 交 $AD$ 于点 $H$。①$AD$ 是 $\triangle ABE$ 的角平分线；②$BE$ 是 $\triangle ABD$ 的边 $AD$ 上的中线；③$CH$ 为 $\triangle ACD$ 的边 $AD$ 上的高；④$AH$ 是 $\triangle ACF$ 的角平分线和高线。上述说法正确的有 ③④。(填序号)

答案： ③④

9. 请仅用无刻度的直尺完成下列画图(不写画法,保留画图痕迹)。
(1)如图 $1$,在 $\triangle ABC$ 中,$E$,$F$ 分别为 $AB$,$BC$ 的中点,请在图 $1$ 中画出 $AC$ 的中点 $M$；
(2)如图 $2$,在四边形 $ABCD$ 中,$E$,$F$,$G$ 分别为 $AB$,$BC$,$AD$ 的中点,请在图 $2$ 中画出 $CD$ 的中点 $N$。

答案：
(1) 连接AF、CE交于点O，连接BO并延长交AC于点M，M即为所求。
(2) 连接AF、CE交于点O，延长BO交AC于点M；连接DG、CM交于点P，延长DP交CD于点N，N即为所求。

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD\perp BC$,$CE\perp AB$,垂足分别为点 $D$ 和点 $E$,$AD$ 与 $CE$ 交于点 $O$,连接 $BO$ 并延长交 $AC$ 于点 $F$,若 $AB = 5$,$BC = 4$,$AC = 6$,则 $CE:AD:BF$ 的值为 12:15:10。

答案： 12:15:10

【典型例题1】【阅读材料】为了说明“三角形的内角和是180°”,小明给出了四种作辅助线的方法如图所示。
方法①：过△ABC的顶点C作EF//AB；
方法②：点P在△ABC的边BC上,过点P作PE//AB交AC于点E,PF//AC交AB于点F；
方法③：点P在△ABC的内部,过点P作EF//AB分别交AC,BC于点E,F,作DG//AC分别交AB,BC于点D,G,作MN//BC分别交AC,AB于点M,N；
方法④：点P在△ABC的外部,过点P作EF//AB分别交AC,BC于点E,F,作DP//AC交BC于点D,作MN//BC。

【解答问题】
(1)小明的四种作辅助线的方法中,能说明“三角形的内角和是180°”的是①②③④；(填序号)
(2)请你从在(1)中填写的方法里选择一种方法,说明“三角形的内角和是180°”。

答案： 思路导引 根据辅助线的作法,结合平行线的性质把三角形的三个内角转化到一起构成一个平角证得结论,可知四种方法均正确。
【解】
(1)①②③④
(2)选择方法②,证明如下：
∵PE//AB,
∴∠CPE= ∠B,∠CEP= ∠A。
∵PF//AC,
∴∠CEP= ∠EPF,∠C= ∠BPF,
∴∠A= ∠CEP= ∠EPF。
∴∠A+∠B+∠C= ∠EPF+∠CPE+∠BPF= 180°。