《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

1. 已知等腰三角形的两边长分别是3和5,则这个等腰三角形的周长为11或13.

答案： $11$或$13$

2. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,图中的直角三角形有4.

答案： 4

【典型例题2】(1)如图1,△ABC的三边的中线AD,BE,CF相交于点G,且AG:GD= 2:1,若$S_{△ABC}= 12$,则图中阴影部分的面积之和是4.
(2)如图2,在△ABC中,AB= AC,AC边上的高BD= 4,P为BC上一点,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,则PE+PF的值为4.

答案： 【解析】
(1)等底同高的两个三角形面积相等,所以$S_{△BFG}= S_{△AFG}$,$S_{△AEG}= S_{△CEG}$,$S_{△BDG}= S_{△CDG}$.
因为AG:GD= 2:1,
所以$S_{△ABG}:S_{△BDG}= 2:1$,
所以$S_{△BFG}= S_{△BDG}$.
这样,三条中线把△ABC分成的六个小三角形的面积都相等,故图中阴影部分的面积之和为12÷6×2= 4.
(2)连接AP(图略),
∵$S_{△ABC}= S_{△ABP}+S_{△ACP}$,
∴$\frac{1}{2}AC·BD= \frac{1}{2}AB·PF+\frac{1}{2}AC·PE$.
∵AB= AC,
∴PE+PF= BD= 4.
【答案】
(1)4
(2)4

3. 如图,△ABC中BC边上的高是(B)

A.BD
B.AE
C.BE
D.CF

答案： B

4. 如图,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且$S_{△ABC}= 4 cm^{2}$,则阴影部分的面积为1 $cm^{2}$.

答案： 1

【典型例题3】如图,在△ABC中,∠ACB＞∠B,AD平分∠BAC,P为线段AD上的任意一点,EP⊥AD交直线BC于点E.

(1)若∠B= 35°,∠ACB= 75°,求∠E的度数；
(2)猜想∠B,∠ACB,∠E的数量关系,并证明.

答案：

思路导引
(1)先求出∠BAC的度数,进而得到∠BAD的度数,然后利用三角形内角和定理的推论求得∠ADE的度数,最后利用直角三角形的性质求得∠E的度数；

(2)先在△ABC中利用∠B与∠ACB的式子表示∠BAC,再在△ABD中利用三角形内角和定理的推论表示∠ADC,最后在Rt△PDE中获得∠B,∠ACB,∠E的数量关系.

【解】
(1)在△ABC中,
∵∠BAC= 180°-∠B-∠ACB= 180°-35°-75°= 70°,
又AD平分∠BAC,
∴∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAC= $\frac{1}{2}$×70°= 35°,
∴∠ADE= ∠B+∠BAD= 35°+35°= 70°.
∵EP⊥AD,
∴∠EPD= 90°,
∴∠E= 90°-∠ADE= 90°-70°= 20°.
(2)∠E= $\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).
证明：由题意,得∠ADE= ∠B+∠BAD= ∠B+$\frac{1}{2}$∠BAC= ∠B+$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠ACB)= 90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵EP⊥AD,
∴∠EPD= 90°,
∴∠E= 90°-∠ADE= 90°-(90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠ACB)= $\frac{1}{2}$(∠ACB-∠B).