《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题】分解因式：
(1) $ m^{2} - 14m + 49 $；
(2) $ 4x^{2} - 12xy + 9y^{2} $；
(3) $ a^{2} + 2a(b + c) + (b + c)^{2} $。

答案： 【解】
(1) $ m^{2} - 14m + 49 $
$ = m^{2} - 2 \cdot m \cdot 7 + 7^{2} $
$ = (m - 7)^{2} $。
(2) $ 4x^{2} - 12xy + 9y^{2} $
$ = (2x)^{2} - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^{2} $
$ = (2x - 3y)^{2} $。
(3) $ a^{2} + 2a(b + c) + (b + c)^{2} $
$ = [a + (b + c)]^{2} $
$ = (a + b + c)^{2} $。

1. 填空：
(1) $ x^{2} + 10x + $25$ = (x + $______ 5$ )^{2} $；
(2) $ 25a^{2} + 30ab + $$9b^2$$ = ( $______ 5a + 3b$ )^{2} $。

答案： 【解析】：
(1) 对于 $x^{2} + 10x$，为使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{10}{2})^{2} = 25$，同时对应的乘积项是 $2 × x × 5 = 10x$，所以可写为 $(x + 5)^{2}$，第一个空填 $25$，第二个空填 $5$。
(2) 对于 $25a^{2} + 30ab$，首先提取平方项中的系数，$25a^{2}$ 可看作 $(5a)^{2}$，对应的乘积的 $2$ 倍是 $2 × 5a × 3b = 30ab$，所以为使其成为完全平方，需要加上 $(3b)^{2} = 9b^{2}$，可写为 $(5a + 3b)^{2}$，第一个空填 $9b^{2}$，第二个空填 $5a + 3b$（或 $5a+3b$ 整体）。
【答案】：
(1)【答案】：25，5
(2)【答案】：9b^2，5a + 3b

2. 分解因式：
(1) $ 4a^{2} + b^{2} - 4ab $；
(2) $ \frac{1}{16}m^{2} - \frac{1}{2}mn + n^{2} $；
(3) $ (3x - 5y)^{2} + 2(3x - 5y) + 1 $。

答案：
(1) $4a^{2} + b^{2} - 4ab = (2a)^{2} - 2 \cdot 2a \cdot b + b^{2} = (2a - b)^{2}$
(2) $\frac{1}{16}m^{2} - \frac{1}{2}mn + n^{2} = \left(\frac{1}{4}m\right)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{4}m \cdot n + n^{2} = \left(\frac{1}{4}m - n\right)^{2}$
(3) 设$t = 3x - 5y$，则原式$= t^{2} + 2t + 1 = (t + 1)^{2} = (3x - 5y + 1)^{2}$