《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 5 $,$ BC = 10 $,$ AC = 9 $,$ MN $ 为边 $ BC $ 的垂直平分线,点 $ D $ 为直线 $ MN $ 上一动点,则 $ \triangle ABD $ 的周长的最小值为(C)

A.10
B.12
C.14
D.15

答案： C

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 为 $ BC $ 边的中点,过点 $ B $ 作 $ BE // AC $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $。
(1)求证 $ \triangle BDE \cong \triangle CDA $。
(2)若 $ AD \perp BC $,求证 $ BA = BE $。

答案：
(1)
∵D为BC中点，
∴BD=CD。
∵BE//AC，
∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C。
在△BDE和△CDA中，
∠E=∠CAD，
∠EBD=∠C，
BD=CD，
∴△BDE≌△CDA(AAS)。
(2)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵D为BC中点，
∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
BD=CD，
∠ADB=∠ADC，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴AB=AC。
由
(1)知△BDE≌△CDA，
∴BE=AC，
∴BA=BE。

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ AB $,$ AC $ 的垂直平分线分别为 $ EM $,$ FD $,连接 $ EA $,$ FA $,且 $ \angle BAC = 115° $,求 $ \angle EAF $ 的度数。

答案：
∵EM是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B。
∵FD是AC的垂直平分线，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C。
设∠EAB=∠B=x，∠FAC=∠C=y。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=115°，
∴115°+x+y=180°，
∴x+y=65°。
∵∠BAC=∠EAB+∠EAF+∠FAC，
∴115°=x+∠EAF+y，
∴∠EAF=115°-(x+y)=115°-65°=50°。
答：∠EAF的度数为50°。