《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题 2】若 $2^{x} = 16$,$2^{y} = 8$,求 $2^{x + y + 2}$ 的值。

答案： 思路导引 逆用同底数幂的乘法的性质,将 $2^{x + y + 2}$ 转化为同底数幂相乘的形式,再将数值代入计算出结果。
【解】$2^{x + y + 2} = 2^{x} \cdot 2^{y} \cdot 2^{2} = 16 × 8 × 4 = 512$。
规律方法 当要求值的幂的指数是“和”的形式时,可以考虑逆用同底数幂的乘法法则进行求值运算。

2. $x^{2m + 2}$ 可以写成(D)

A.$2x^{m + 2}$
B.$x^{2m} + x^{2}$
C.$x^{2} \cdot x^{m + 1}$
D.$x^{2m} \cdot x^{2}$

答案： D

3. 已知 $3^{x} = y$,则 $3^{x + 1} = ($D)
A.$y$
B.$1 + y$
C.$3 + y$
D.$3y$

答案： D

1. 计算 $a^{2} \cdot a^{3}$,结果正确的是(A)
A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{8}$
D.$a^{9}$

答案： A

2. 下列算式中结果等于 $m^{7}$ 的是(C)
A.$(-m)^{2} \cdot (-m)^{5}$
B.$(-m^{2}) \cdot m^{5}$
C.$(-m)^{3} \cdot (-m^{4})$
D.$(-m) \cdot (-m)^{6}$

答案： C

3. 在等式 $a^{5} \cdot (-a) \cdot ($ ) $= a^{12}$ 中,括号内的代数式应是(C)
A.$a^{6}$
B.$(-a)^{6}$
C.$-a^{6}$
D.$(-a)^{7}$

答案： C

4. 如果 $x^{2 + m} \cdot x^{3} = x^{5}$,那么 $m$ 等于(A)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： A

5. 若规定 $a \otimes b = 10^{a} × 10^{b}$,如 $2 \otimes 3 = 10^{2} × 10^{3} = 10^{5}$,则 $3 \otimes 4$ 等于(D)
A.$12$
B.$10^{12}$
C.$7^{10}$
D.$10^{7}$

答案： D

6. 已知 $x + y - 3 = 0$,则 $2^{y} \cdot 2^{x}$ 的值是(D)
A.$6$
B.$-6$
C.$\frac{1}{8}$
D.$8$

答案： D

7. 如果 $a^{x} = 4$,$a^{y} = 9$,那么 $a^{x + y}$ 的值为(D)
A.$13$
B.$5$
C.$-36$
D.$36$

答案： D

8. 已知 $2^{x + 2} = 20$,则 $2^{x}$ 的值为5。

答案： 5

9. 计算：
(1) $7 × 7^{2} × 7^{5}$；
(2) $-x^{3} \cdot (-x)^{3} \cdot (-x)^{4}$；
(3) $a^{n + 2} \cdot a^{n + 1} \cdot a^{n} \cdot a$；
(4) $(x - y)^{5} \cdot (y - x)^{6}$。

答案：
(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$7×7^{2}×7^{5}=7^{1 + 2+5}=7^{8}$
(2)
先根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数化简$(-x)^{3}=-x^{3}$，$(-x)^{4}=x^{4}$，则：
$-x^{3}\cdot(-x)^{3}\cdot(-x)^{4}=-x^{3}\cdot(-x^{3})\cdot x^{4}=x^{3 + 3+4}=x^{10}$
(3)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a=a^{(n + 2)+(n + 1)+n + 1}=a^{3n+4}$
(4)
因为$(y - x)^{6}=[(x - y)]^{6}=(x - y)^{6}$，所以：
$(x - y)^{5}\cdot(y - x)^{6}=(x - y)^{5}\cdot(x - y)^{6}=(x - y)^{5 + 6}=(x - y)^{11}$
综上，答案依次为：
(1)$7^{8}$；
(2)$x^{10}$；
(3)$a^{3n + 4}$；
(4)$(x - y)^{11}$。

10. 若 $x$,$y$ 都是正整数,且 $2^{x} × 2^{y} = 2^{5}$,则 $x$,$y$ 的值有4对。

答案： 4（填写数字4即可，题目未给出选项形式，按要求填写数字）

11. 若 $2^{10} × 8 × 16 = 2^{n}$,则 $n = $17。

答案： $17$

12. 若 $4^{m} = 8$,$4^{n} = 2$,则 $m + n = $2。

答案： 2