《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

3. 如图,DE⊥CA于点E,DF⊥CB于点F,AD= BD,∠CAD+∠CBD= 180°,求证：CD平分∠ACB.

答案： 证明：
∵DE⊥CA，DF⊥CB（已知），
∴∠AED=∠BFD=90°（垂直定义）。
∵点E在CA延长线上（如图），
∴∠CAD+∠DAE=180°（平角定义）。
又
∵∠CAD+∠CBD=180°（已知），
∴∠DAE=∠CBD（同角的补角相等）。
在△ADE和△BDF中，
∠DAE=∠DBF（已证），
∠AED=∠BFD（已证），
AD=BD（已知），
∴△ADE≌△BDF（AAS）。
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。
∵DE⊥CA，DF⊥CB，DE=DF（已证），
∴CD平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
结论：CD平分∠ACB。

4. 如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P为∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点. 其中正确的是①②③④.(填序号)

答案： ①②③④

5. 如图,在△ABC中,∠BAC= 80°,∠ABC= 40°,若BE平分∠ABC,CE平分外角∠ACD,连接AE,求∠AEB的度数.

答案： 解答过程：
1. 在△ABC中，∠BAC=80°，∠ABC=40°，由三角形内角和定理得：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-80°-40°=60°。
2. ∠ACD为△ABC的外角，故∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
因CE平分∠ACD，所以∠ACE=∠ACD/2=120°/2=60°。
3. BE平分∠ABC，∠ABC=40°，故∠ABE=∠EBC=40°/2=20°。
4. 过点E作AB、BC、AC所在直线的垂线，垂足分别为F、G、H。
由角平分线性质：BE平分∠ABC→EF=EG；CE平分∠ACD→EG=EH，故EF=EH。
由角平分线判定定理，AE平分∠BAC的外角∠CAP（P为BA延长线上一点）。
5. ∠BAC=80°，其外角∠CAP=180°-∠BAC=100°，AE平分∠CAP，得∠CAE=∠CAP/2=50°。
6. 在△AEC中，∠ACE=60°，∠CAE=50°，则∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=180°-50°-60°=70°。
7. 在△BEC中，∠EBC=20°，∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，则∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-20°-120°=40°。
8. 由∠AEC=∠AEB+∠BEC（E在△ABC外部），得∠AEB=∠AEC-∠BEC=70°-40°=30°。
结论：∠AEB=30°

6. 如图,AE⊥AB,AF⊥AC,AE= AB,AF= AC.
(1)图中EC,BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.
(2)连接AM,求证：MA平分∠EMF.

答案：
(1) EC=BF且EC⊥BF。
证明：
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠FAC=90°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC=90°+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF。在△EAC和△BAF中，AE=AB，∠EAC=∠BAF，AC=AF，
∴△EAC≌△BAF(SAS)，
∴EC=BF。设EC与BF交于点M，由△EAC≌△BAF得∠AEC=∠ABF。
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∴∠AEC+∠AKE=90°(K为EC与AB交点)。
∵∠AKE=∠BKM(对顶角)，
∴∠ABF+∠BKM=90°，
∴∠B MK=180°-(∠ABF+∠BKM)=90°，即∠EMB=90°，
∴EC⊥BF。
(2) 证明：过点A作AP⊥EC于P，AQ⊥BF于Q。
∵△EAC≌△BAF，
∴S△EAC=S△BAF。
∵S△EAC=1/2·EC·AP，S△BAF=1/2·BF·AQ，且EC=BF，
∴1/2·EC·AP=1/2·BF·AQ，
∴AP=AQ。
∵AP⊥EC，AQ⊥BF，
∴点A在∠EMF的平分线上，即MA平分∠EMF。