《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题】如图,在$Rt \triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle BAC = 60^{\circ}$,$\triangle ABC的角平分线AM的长为12\ cm$,求$BC$的长。

答案： 思路导引 本题图中有两个含$30^{\circ}$角的直角三角形,一个等腰三角形,根据这些特征可求$CM与BM$的长,其和即为所求的$BC$边的长。
【解】在$Rt \triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。$\because AM平分\angle BAC$,
$\therefore \angle CAM = \angle BAM = 30^{\circ}$,
$\therefore \angle B = \angle BAM$,
$\therefore BM = AM = 12\ cm$。
在$Rt \triangle ACM$中,$\angle CAM = 30^{\circ}$,
$\therefore CM = \dfrac{1}{2}AM = 6\ cm$。
$\therefore BC = CM + BM = 6 + 12 = 18(cm)$。

如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$D是BC$边延长线上的一点,并且$CD = CA$,$\angle ADC = 15^{\circ}$,试说明$AB与CD$的数量关系。

答案： 在△ACD中，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠ADC=15°（等边对等角）。
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-15°-15°=150°。
∵D在BC延长线上，
∴∠ACB+∠ACD=180°（平角定义），
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-150°=30°。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=1/2AC（含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半）。
∵CD=CA，
∴AC=CD，
∴AB=1/2CD，即CD=2AB。
结论：CD=2AB。

1. 如图,某研究性学习小组为测量学校$A与河对岸工厂B$之间的距离,在学校附近选一点$C$,利用测量仪器测得$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 2\ km$。据此,可求得学校与工厂之间的距离$AB$等于(D)

A.$2\ km$
B.$3\ km$
C.$2\sqrt{3}\ km$
D.$4\ km$

答案： D