《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

2. 下列各式中,能用公式法分解因式的是(D)
A.$x^{2}+x$
B.$4x^{2}-4x-1$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$4x^{2}-1$

答案： D

3. (2024·四川自贡中考)分解因式：$x^{2}-3x= $$x(x - 3)$.

答案： $x(x - 3)$

4. (2024·黑龙江绥化中考)分解因式：$2mx^{2}-8my^{2}=$$2m(x + 2y)(x - 2y)$.

答案： $2m(x + 2y)(x - 2y)$。

5. 分解因式：
(1)$2x^{3}y-2xy^{3}$；
(2)$8(a^{2}+1)-16a$；
(3)$-3x^{2}+2x-\frac{1}{3}$.

答案：
(1)
首先提公因式$2xy$，可得：
$2x^{3}y - 2xy^{3}=2xy(x^{2}-y^{2})$
再根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$对$x^{2}-y^{2}$继续分解，得到：
$2xy(x^{2}-y^{2}) = 2xy(x + y)(x - y)$
(2)
先将$8(a^{2}+1)-16a$展开得$8a^{2}+8 - 16a$；
然后提公因式$8$，可得$8(a^{2}-2a + 1)$；
再根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对$a^{2}-2a + 1$继续分解，得到：
$8(a^{2}-2a + 1)=8(a - 1)^{2}$
(3)
先提公因式$-\frac{1}{3}$，可得$- \frac{1}{3}(9x^{2}-6x + 1)$；
再根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对$9x^{2}-6x + 1$继续分解，得到：
$- \frac{1}{3}(9x^{2}-6x + 1)=-\frac{1}{3}(3x - 1)^{2}$
综上，答案依次为：
(1)$2xy(x + y)(x - y)$；
(2)$8(a - 1)^{2}$；
(3)$-\frac{1}{3}(3x - 1)^{2}$。

【典型例题3】已知$x-1= \sqrt{3}$,求代数式$(x+1)^{2}-4(x+1)+4$的值.

答案： 思路导引 把求值式先利用完全平方公式进行分解化简,再代入数值计算.
【解】$(x+1)^{2}-4(x+1)+4= (x+1-2)^{2}= (x-1)^{2}= (\sqrt{3})^{2}= 3$.
规律方法 运用因式分解可以将某些条件作为整体进行求解,使计算过程得以简化.

6. 已知$a-b= 1$,则$a^{2}-b^{2}-2b$的值为(C)
A.4
B.3
C.1
D.0

答案： C

7. 化简：$(a+1)^{2}-(a-1)^{2}=$$4a$.

答案： $4a$

1. 利用完全平方公式$a^{2}+2ab+b^{2}= (a+b)^{2}和a^{2}-2ab+b^{2}= (a-b)^{2}$的特点可以解决很多数学问题. 下面给出两个例子：
例1. 分解因式：$x^{2}+2x-3= x^{2}+2x+1-4= (x+1)^{2}-4= (x+1+2)(x+1-2)= (x+3)(x-1)$.
例2. 求代数式$2x^{2}-4x-6$的最小值：$2x^{2}-4x-6= 2(x^{2}-2x)-6= 2(x^{2}-2x+1-1)-6= 2[(x-1)^{2}-1]-6= 2(x-1)^{2}-8$,
∵$2(x-1)^{2}\geq0$,
∴当$x= 1$时,代数式$2x^{2}-4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
(1)分解因式：$m^{2}-6m-7$；
(2)代数式$-2x^{2}-8x+5$有最______值(填“大”或“小”)；
(3)当$x$,$y$为何值时,多项式$2x^{2}+y^{2}-8x+6y+20$有最小值？并求出这个最小值.
(1)$(m + 1)(m - 7)$
(2)大
(3)当$x = 2$，$y=-3$时，多项式$2x^{2}+y^{2}-8x + 6y + 20$有最小值，最小值是$3$。

答案：
(1)
$m^{2}-6m - 7$
$=m^{2}-6m + 9-16$
$=(m - 3)^{2}-16$
$=(m - 3 + 4)(m - 3 - 4)$
$=(m + 1)(m - 7)$
(2)
$-2x^{2}-8x + 5$
$=-2(x^{2}+4x)+5$
$=-2(x^{2}+4x + 4 - 4)+5$
$=-2[(x + 2)^{2}-4]+5$
$=-2(x + 2)^{2}+8 + 5$
$=-2(x + 2)^{2}+13$
因为$-2(x + 2)^{2}\leq0$，所以代数式$-2x^{2}-8x + 5$有最大值。
(3)
$2x^{2}+y^{2}-8x + 6y + 20$
$=2(x^{2}-4x)+y^{2}+6y + 20$
$=2(x^{2}-4x + 4 - 4)+y^{2}+6y + 9 - 9+20$
$=2[(x - 2)^{2}-4]+(y + 3)^{2}+11$
$=2(x - 2)^{2}-8+(y + 3)^{2}+11$
$=2(x - 2)^{2}+(y + 3)^{2}+3$
因为$2(x - 2)^{2}\geq0$，$(y + 3)^{2}\geq0$，
当$x - 2 = 0$即$x = 2$，$y + 3 = 0$即$y=-3$时，多项式$2x^{2}+y^{2}-8x + 6y + 20$有最小值，最小值是$3$。
综上，答案依次为：
(1)$(m + 1)(m - 7)$；
(2)大；
(3)当$x = 2$，$y=-3$时，最小值是$3$。