《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

8. 计算：
(1)$(2x - 1)(x + 3) - 2(x - 1)(x + 1)$；
(2)$x^2 - (x - 2y)(x + 2y) + (x^2 - y)(y + x^2)$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(2x - 1)(x + 3) - 2(x - 1)(x + 1)\\=&2x^2 + 6x - x - 3 - 2(x^2 - 1)\\=&2x^2 + 5x - 3 - 2x^2 + 2\\=&5x - 1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&x^2 - (x - 2y)(x + 2y) + (x^2 - y)(y + x^2)\\=&x^2 - (x^2 - 4y^2) + (x^4 - y^2)\\=&x^2 - x^2 + 4y^2 + x^4 - y^2\\=&x^4 + 3y^2\end{aligned}$
(1) $5x - 1$；
(2) $x^4 + 3y^2$

9. 如图①,在边长为$a$的正方形中,剪去一个边长为$b的小正方形(a ＞ b)$,如图②,将余下部分拼成一个梯形。
(1)图②中,梯形的高为$a + b$；(用含$a$,$b$的代数式表示)
(2)请结合图①、图②,写出一个关于$a$,$b$的乘法公式,并通过计算图①、图②阴影部分的面积加以证明。

答案：
(1) $a + b$
(2) 乘法公式：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
证明：
图①阴影部分面积：大正方形面积 - 小正方形面积 = $a^2 - b^2$
图②梯形面积：$\frac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高 = \frac{1}{2} × (2b + 2a) × (a - b) = (a + b)(a - b)$
因为图①与图②阴影部分面积相等，所以$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

【典型例题1】运用完全平方公式计算：
(1)$(4x - 5y)^2$；
(2)$(-3a + 2)^2$；
(3)$(-2a - b)^2$。

答案： 思路导引 运用完全平方公式进行计算时,先确定好公式中的$a与b$及运算符号,然后再套公式进行计算。注意：$(-a - b)^2与(a + b)^2$相等；$(b - a)^2与(a - b)^2$相等。
【解】
(1)原式$=(4x)^2 - 2\cdot 4x\cdot 5y + (5y)^2 = 16x^2 - 40xy + 25y^2$。
(2)原式$=(-3a)^2 + 2\cdot (-3a)\cdot 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$。
(3)$(-2a - b)^2 = (2a + b)^2 = (2a)^2 + 2\cdot 2a\cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$。

1. 下列计算正确的是(C)

A.$(m - n)^2 = m^2 - n^2$
B.$(m - n)(m + n) = m^2 + n^2$
C.$(m - \frac{1}{2})^2 = m^2 - m + \frac{1}{4}$
D.$(m + n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

答案： C