《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

6. 已知三角形的三条边长分别为 3,5 和 $ x $.
(1) 若 3 是该三角形的最短边长,求 $ x $ 的取值范围；
(2) 若 $ x $ 是小于 7 的奇数,试判断该三角形的形状(按边分类).

答案：
(1) 因为3是最短边，所以$x \geq 3$。根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。综合得$3 \leq x ＜ 8$。
(2) 由三角形三边关系得$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。因为$x$是小于7的奇数，所以$x = 3$或$x = 5$。当$x = 3$时，三角形三边长为3,3,5，是等腰三角形；当$x = 5$时，三角形三边长为3,5,5，是等腰三角形。综上，该三角形是等腰三角形。

7. 将长为 6 的长方形纸片沿虚线折成 3 个长方形如图 1 所示,其中左、右两侧长方形的宽相等,若要将其围成如图 2 所示的物体,则图中 $ a $ 的值可以是(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

8. 如图,小明做了一个四边形木框模型 $ ABCD $,发现它并不稳固,于是想增加一根木条使其稳固,现量得 $ BC = 8 $ cm,$ CD = 6 $ cm,$ AB = 4 $ cm,$ AD = 5 $ cm,试问一根 3 cm 长的木条,能否满足要求,并说明理由.

答案： 能满足要求。
理由如下：
要使四边形稳固，需连接对角线将其分成两个三角形（三角形具有稳定性），四边形对角线有AC和BD两种情况。
情况1：连接AC
在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，AC需满足：4+8＞AC，4+AC＞8，8+AC＞4，即4＜AC＜12；
在△ADC中，AD=5cm，CD=6cm，AC需满足：5+6＞AC，5+AC＞6，6+AC＞5，即1＜AC＜11；
综上，AC范围为4＜AC＜11，3cm不在此范围，故AC不可取3cm。
情况2：连接BD
在△ABD中，AB=4cm，AD=5cm，BD需满足：4+5＞BD，4+BD＞5，5+BD＞4，即1＜BD＜9；
在△BCD中，BC=8cm，CD=6cm，BD需满足：8+6＞BD，8+BD＞6，6+BD＞8，即2＜BD＜14；
综上，BD范围为2＜BD＜9，3cm在此范围内。
验证BD=3cm时三角形成立
△ABD中，4+5＞3，4+3＞5，5+3＞4（满足三边关系）；
△BCD中，8+6＞3，8+3＞6，6+3＞8（满足三边关系）。
故连接BD，3cm木条可使四边形稳固。
结论：能满足要求。

9. 探究：如图,用钉子把木棒 $ AB $,$ BC $ 和 $ CD $ 分别在端点 $ B $,$ C $ 处连接起来(端点处可活动),用橡皮筋把 $ AD $ 连接起来. 设橡皮筋 $ AD $ 的长是 $ x $.
(1) 若 $ AB = 5 $,$ CD = 3 $,$ BC = 11 $,试求 $ x $ 的最大值和最小值；
(2) 在(1)的条件下要围成一个四边形,请直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案：
(1) 当A、B、C、D四点共线，且A、B、C、D依次排列时，AD最长，此时$x = AB + BC + CD = 5 + 11 + 3 = 19$；当A、B、C、D四点共线，且A在B右侧、D在C左侧时，AD最短，此时$x = BC - AB - CD = 11 - 5 - 3 = 3$。故x的最大值为19，最小值为3。
(2) 要围成四边形，A、B、C、D不能共线，因此x的取值范围是$3 ＜ x ＜ 19$。
(1) 最大值19，最小值3；
(2)$3 ＜ x ＜ 19$