《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题1】如图,已知四边形ABCD,E为DC边上一点.求作四边形内一点P,使EP//BC,且点P到AB,AD的距离相等.

答案：
【解】作法：如图.
(1)作∠DAB的平分线AM；
(2)以E为顶点,ED为一边作射线EN,使∠DEN= ∠C,EN交AM于点P,即为所求作点P.

1. 如图,在△ABC中,∠ACB= 2∠B.作∠ACB的平分线交AB于D；作∠BDC的平分线DE交BC于点E.(不写作法,保留作图痕迹)

答案： 作图如下：
（1）以$C$为圆心，以任意长为半径画弧，分别交$AC$、$BC$于两点，再分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过$C$与这一点作射线交$AB$于$D$，则$CD$平分$\angle ACB$。
（2）以$D$为圆心，以任意长为半径画弧，分别交$BD$、$DC$于两点，再分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过$D$与这一点作射线交$BC$于$E$，则$DE$平分$\angle BDC$。
（由于无法直接作图，你可以根据上述步骤在原图上进行作图）。

【典型例题2】如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB= BC,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证PM= PN.

答案：

【证明】
∵BD为∠ABC的平分线,

∴∠ABD= ∠CBD.

在△ABD和△CBD中,

$\begin{cases}AB = CB, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{cases} $

∴△ABD≌△CBD(SAS),

∴∠ADB= ∠CDB.

∵点P在BD上,且PM⊥AD,PN⊥CD,

∴PM= PN.