《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

2. 已知∠α和线段c,求作△ABC,使∠A= ∠α,AB= 2c,AC= 3c. (保留作图痕迹,不写作法)

答案： ①作∠A = ∠α；
②在∠A的两边上分别截取AB = 2c，AC = 3c；
③连接BC，则△ABC就是所求作的三角形。
（图中应呈现：先画出角α，然后以角α为∠A，在两条边上按要求截取线段得到A、B、C三点，连接三点形成三角形，保留作图痕迹）

【典型例题3】如图,已知AB= AC,BD= CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证DE= DF.

答案：
思路导引 由条件DE⊥AB,DF⊥AC易联想到,只要点D在∠EAF的平分线上,可得DE= DF.
【证明】如图,连接AD. 在△ABD和△ACD中,$\begin{cases}AB = AC,\\BD = CD,\\AD = AD,\\\end{cases}\\ $

∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAD= ∠CAD,
即AD是∠EAF的平分线.
又DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE= DF.
规律方法 对此类题目,利用角平分线的性质求解要比通过证三角形全等更简捷明快.

3. (2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE= BF；分别以点E,F为圆心,大于 $\frac{1}{2}$EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N. 若MN= 2,AD= 4MD,求AM的值.

答案：
∵以E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}$EF的长为半径画弧交于点P,作射线BP,
∴BP是∠ABC的角平分线(角平分线的尺规作图).
∵M在BP上,MN⊥AB,AD⊥BC(AD是BC边上的高),
∴MN为M到AB的距离,MD为M到BC的距离.
由角平分线性质:角平分线上的点到角两边距离相等,得MN=MD.
∵MN=2,
∴MD=2.
∵AD=4MD,
∴AD=4×2=8.
∵AD=AM+MD,
∴AM=AD-MD=8-2=6.
答案: 6