《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

8. 若 $ x^{2} + 2(m - 3)x + 16 $ 是关于 $ x $ 的完全平方式,则 $ m $ 的值为(C)
A.7
B.-1
C.-1 或 7
D.1 或 -7

答案： C

9. 已知 $ a - b = 1 $,则 $ a^{3} - a^{2}b + b^{2} - 2ab $ 的值为1。

答案： 1

10. 若 $ a^{2} + 2a + b^{2} - 6b + 10 = 0 $,求 $ a $,$ b $ 的值。

答案： $a^{2} + 2a + b^{2} - 6b + 10 = 0$
$a^{2} + 2a + 1 + b^{2} - 6b + 9 = 0$
$(a + 1)^{2} + (b - 3)^{2} = 0$
因为$(a + 1)^{2} \geq 0$，$(b - 3)^{2} \geq 0$，
所以$a + 1 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a = -1$，$b = 3$。
结论：$a = -1$，$b = 3$。

11. 对于形如 $ x^{2} - 2ax + a^{2} $ 的二次三项式,可以用公式法将它分解成 $ (x - a)^{2} $ 的形式。但对于二次三项式 $ x^{2} - 2ax - 3a^{2} $,就不能直接运用公式了。此时,我们可以在二次三项式 $ x^{2} - 2ax - 3a^{2} $ 中先加上一项 $ a^{2} $,使它与 $ x^{2} - 2ax $ 的和成为一个完全平方式,再减去 $ a^{2} $,整个式子的值不变,于是有 $ x^{2} - 2ax - 3a^{2} = (x^{2} - 2ax + a^{2}) - a^{2} - 3a^{2} = (x - a)^{2} - 4a^{2} = (x - 3a)(x + a) $。像这样,先添一适当项,使式子中出现完全平方式,再减去添加的项,使整个式子的值不变的方法称为配方法。利用以上配方法解决下列问题：
(1) 分解因式：$ a^{2} - 4a - 5 $；
(2) 已知 $ m $ 是实数,求二次三项式 $ m^{2} + 6m + 1 $ 的最小值；
(3) 已知 $ x $ 是实数,试比较 $ x^{2} - 5x + 5 $ 与 $ -x^{2} + 3x - 4 $ 的大小,并说明理由。

答案：
(1) $a^2 - 4a - 5 = a^2 - 4a + 4 - 4 - 5 = (a - 2)^2 - 9 = (a - 2)^2 - 3^2 = (a - 2 - 3)(a - 2 + 3) = (a - 5)(a + 1)$
(2) $m^2 + 6m + 1 = m^2 + 6m + 9 - 9 + 1 = (m + 3)^2 - 8$，因为$(m + 3)^2 \geq 0$，所以$(m + 3)^2 - 8 \geq -8$，最小值为$-8$
(3) $(x^2 - 5x + 5) - (-x^2 + 3x - 4) = 2x^2 - 8x + 9 = 2(x^2 - 4x) + 9 = 2[(x - 2)^2 - 4] + 9 = 2(x - 2)^2 + 1$，因为$2(x - 2)^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，所以$x^2 - 5x + 5 ＞ -x^2 + 3x - 4$