《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

5. 如图,已知OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,点F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证DF= EF.

答案： 证明：
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）。
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
$\left\{\begin{array}{l} PD=PE\\ OP=OP\end{array}\right.$，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴OD=OE（全等三角形的对应边相等）。
在△ODF和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l} OD=OE\\ ∠DOF=∠EOF\\ OF=OF\end{array}\right.$，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF（全等三角形的对应边相等）。

6. 如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD= DC,BD平分∠ABC,试猜想∠BAD与∠DCB的关系,并说明理由.

答案： ∠BAD+∠DCB=180°。
理由：过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∵AD=DC，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠DAE=∠DCB。
∵∠DAE+∠BAD=180°（邻补角定义），
∴∠DCB+∠BAD=180°。

【典型例题1】如图,已知点D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE= BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等,连接DE,DF,AD. 求证：AD平分∠BAC.

答案：

$【$证明$】$如图$,$过$D$作$DM⊥AB$于$M,DN⊥AC$于$N. $因为$△DCE$的面积与$△DBF$的面积相等$,$所以$\frac{BF\cdot DM}{2}= \frac{CE\cdot DN}{2}. $因为$CE= BF,$所以$DM= DN. $又因为$DM⊥AB,DN⊥AC,$所以点$D$在$∠BAC$的平分线上$,$所以$AD$平分$∠BAC.$　　

1. 如图,点B,C分别在∠MAN的两边上,BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE相交于点F,且BF= CF. 求证：点F在∠MAN的平分线上.

答案： 证明：
∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠FDC=∠FEB=90°。
在△FDC和△FEB中，
∠FDC=∠FEB，
∠DFC=∠EFB，
CF=BF，
∴△FDC≌△FEB（AAS）。
∴FD=FE。
∵FD⊥AM，FE⊥AN，
∴点F在∠MAN的平分线上。