《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题 1】如图 1,已知$\angle \alpha$,$\angle \beta$,求作$\angle AOB$,使$\angle AOB= \angle \alpha +\angle \beta$。

答案：
思路导引 先作一个角等于$\angle \alpha$,再在$\angle \alpha外作一个角等于\angle \beta$,且这两个角共顶点,共一边。
【解】
(1)如图 1,分别以点$E$,$P$为圆心,适当长为半径画弧,交$\angle \alpha的两边于点F$,$G$,交$\angle \beta的两边于点M$,$N$；
(2)如图 2,作射线$OA$,以点$O$为圆心,$EF的长为半径画弧KL$,交射线$OA于点C$；

(3)以点$C$为圆心,$GF$的长为半径画弧,交弧$KL于点H$,再以点$H$为圆心,$MN$的长为半径画弧,与弧$KL交于点Q$；
(4)分别过点$Q$,$H作射线OB$,$OH$,则$\angle AOH= \angle \alpha$,$\angle BOH= \angle \beta$,$\angle AOB= \angle \alpha +\angle \beta$。

1. 如图,已知$\triangle ABC$,$AC＞AB$,$\angle C = 45^{\circ}$。请用尺规作图,在边$AC上求作一点P$,使$\angle PBC = 45^{\circ}$。(不写作法,保留作图痕迹)

答案： 作图步骤：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径画弧，两弧分别交于两点；
2. 过两弧交点作直线，该直线即为线段BC的垂直平分线；
3. 垂直平分线与AC的交点即为点P。
作图痕迹： 保留两弧交点、垂直平分线及点P。
结论： 点P即为所求。

【典型例题 2】如图,已知线段$a和\angle \alpha$。求作$\triangle ABC$,使$AB = AC = a$,$\angle B= \angle \alpha$。

答案：
【解】作法：
(1)作$\angle MBN= \angle \alpha$；
(2)在射线$BN上作AB = a$,再以点$A$为圆心,$AB$长为半径作弧,交射线$BM于点C$；
(3)连接$AC$,则$\triangle ABC$就是所求作的三角形。