《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

1. 如图,四边形 $ ABCD $ 与四边形 $ EBCF $ 关于边 $ BC $ 所在的直线对称,若 $ EF // BC $,$ \angle ABE = 110^{\circ} $,则 $ \angle E $ 的度数为(C)

A.$ 100^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 125^{\circ} $
D.$ 135^{\circ} $

答案： C

【典型例题 2】如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB $ 的平分线与 $ AB $ 的垂直平分线 $ DM $ 交于点 $ D $,$ DE \perp AC $ 于点 $ E $,$ DF \perp BC $ 交 $ CB $ 的延长线于点 $ F $。

(1) 求证 $ AE = BF $；
(2) 若 $ AC = 24 $,$ BC = 10 $,求 $ AE $ 的长。
(1)【证明】如图所示,连接 $ AD $。因为 $ DM $ 垂直平分线段 $ AB $,所以 $ DA = DB $。

因为 $ CD $ 平分 $ \angle ACB $,$ DE \perp AC $,$ DF \perp BC $,所以 $ DE = DF $,$ \angle DEA = \angle DFB = 90^{\circ} $。
在 $ Rt \triangle DEA $ 和 $ Rt \triangle DFB $ 中,
$\begin{cases}DA = DB, \\DE = DF,\end{cases} $
所以 $ Rt \triangle DEA \cong Rt \triangle DFB (HL) $,
所以 $ AE = BF $。
(2)【解】在 $ Rt \triangle CDE $ 与 $ Rt \triangle CDF $ 中,
$\begin{cases}CD = CD, \\DE = DF,\end{cases} $
所以 $ Rt \triangle CDE \cong Rt \triangle CDF (HL) $,
所以 $ CE = CF $,所以 $ AC - AE = BC + BF $,所以 $ 24 - AE = 10 + AE $,所以 $ AE = 7 $。

答案：
(1)【证明】连接AD。
∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB。
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠DEA=∠DFB=90°。
在Rt△DEA和Rt△DFB中，
$\begin{cases} DA=DB, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△DEA≌Rt△DFB(HL)，
∴AE=BF。
(2)【解】在Rt△CDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} CD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE=CF。
∵CE=AC-AE，CF=BC+BF，且AE=BF，
∴AC-AE=BC+AE。
∵AC=24，BC=10，
∴24-AE=10+AE，
解得AE=7。

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB ＞ AC $。
(1) 尺规作图：作点 $ D $,使得点 $ D $ 在 $ \angle BAC $ 的角平分线上,且 $ DB = DC $。(不写作法,保留痕迹)
(2) 若 $ \angle BDC = 102^{\circ} $,则 $ \angle DBC = $39$^{\circ} $。

答案：
(1)
作答图：首先用尺规作$\angle BAC$的角平分线；然后作$BC$的垂直平分线，与$\angle BAC$的角平分线交点即为点$D$。
(2)
因为$DB = DC$，所以$\triangle BDC$是等腰三角形，$\angle DBC=\angle DCB$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 102^{\circ}$，则$\angle DBC=\frac{1}{2}×(180^{\circ}- 102^{\circ}) = 39^{\circ}$。
故答案为：$39$。

【典型例题 3】如图,已知 $ \triangle ABC $。

(1) 画出 $ \triangle A_1B_1C_1 $,使 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 和 $ \triangle ABC $ 关于直线 $ MN $ 成轴对称。
(2) 画出 $ \triangle A_2B_2C_2 $,使 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 和 $ \triangle ABC $ 关于直线 $ PQ $ 成轴对称。
(3) $ \triangle A_1B_1C_1 $ 与 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 成轴对称吗？若成,请在图上画出对称轴；若不成,请说明理由。

答案：
【解】
(1)
(2) 所画图形如图所示。

(3) $ \triangle A_1B_1C_1 $ 与 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 不成轴对称,因为找不到使 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 与 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 对称的对称轴。