《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

11. 先阅读下面的解法,再解答问题。
例：已知多项式$3x^{3}-x^{2}+m$分解因式的结果中有一个因式是$(3x + 1)$,求实数$m$。
解：设$3x^{3}-x^{2}+m= (3x + 1)\cdot K$($K$为整式),
令$(3x + 1)= 0$,则$x= -\frac {1}{3}$,得$3×(-\frac {1}{3})^{3}-(-\frac {1}{3})^{2}+m= 0$,即$m= \frac {2}{9}$。
这种方法叫特殊值法,请用特殊值法解决下列问题。
(1)若多项式$x^{2}+mx - 8$分解因式的结果中有一个因式为$(x - 2)$,则实数$m= $2；

答案： $2$（题目要求直接填数值，则答案为2对应的填空答案，本题为直接填写数值非选择题型，若按选择题理解此处应表述为填数值2，若为选择则根据选项对应，当前按直接填答处理）

(2)若多项式$x^{3}+3x^{2}+5x + n分解因式的结果中有一个因式为(x + 1)$,求实数$n$的值；
(3)若多项式$x^{4}+mx^{3}+nx - 14分解因式的结果中有因式(x + 1)和(x - 2)$,求$m$,$n$的值。

答案：
(2)设$f(x)=x^3 + 3x^2 + 5x + n$，因为$(x + 1)$是$f(x)$的因式，所以$f(-1)=0$。
代入$x=-1$得：$(-1)^3 + 3×(-1)^2 + 5×(-1) + n = 0$，
即$-1 + 3 - 5 + n = 0$，解得$n=3$。
(3)设$g(x)=x^4 + mx^3 + nx - 14$，因为$(x + 1)$和$(x - 2)$是$g(x)$的因式，所以$g(-1)=0$且$g(2)=0$。
由$g(-1)=0$得：$(-1)^4 + m×(-1)^3 + n×(-1) - 14 = 0$，即$1 - m - n - 14 = 0$，整理得$m + n = -13$。
由$g(2)=0$得：$2^4 + m×2^3 + n×2 - 14 = 0$，即$16 + 8m + 2n - 14 = 0$，整理得$4m + n = -1$。
联立方程组$\begin{cases}m + n = -13\\4m + n = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=4\\n=-17\end{cases}$。
(2)$n=3$；
(3)$m=4$，$n=-17$。

【典型例题 1】分解因式：
(1) $4a^{2}+6ab+2a$；
(2) $2a^{3}b^{4}-10a^{2}b^{3}+2a^{2}b^{2}$；
(3) $-3ma^{3}+6ma^{2}-12ma$。

答案： 【解】
(1) 原式 $=2a\cdot 2a+2a\cdot 3b+2a\cdot 1= 2a(2a+3b+1)$。
(2) 原式 $=2a^{2}b^{2}\cdot ab^{2}-2a^{2}b^{2}\cdot 5b+2a^{2}b^{2}\cdot 1= 2a^{2}b^{2}(ab^{2}-5b+1)$。
(3) 原式 $=-3ma\cdot a^{2}+(-3ma)\cdot (-2a)+(-3ma)\cdot 4= -3ma(a^{2}-2a+4)$。

1. 分解因式：
(1) $-6mn-18mp$；
(2) $4m^{3}n^{2}+10mn^{4}$；
(3) $-15x^{3}y^{2}-6x^{2}y^{3}+3x^{2}y^{2}$；
(4) $30a^{3}b-25a^{2}b^{2}+5a^{2}b$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}原式=-6mn - 18mp \\=-6m(n + 3p)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式=4m^{3}n^{2}+10mn^{4} \\= 2mn^{2}(2m^{2}+5n^{2})\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式=-15x^{3}y^{2}-6x^{2}y^{3}+3x^{2}y^{2} \\=-3x^{2}y^{2}(5x + 2y-1)\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}原式=30a^{3}b-25a^{2}b^{2}+5a^{2}b \\= 5a^{2}b(6a - 5b + 1)\end{aligned}$