《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

5. 如图,已知一个三角形有两条边分别是$a和b$,一个内角为$40^{\circ}$。按要求作图,并在所作图中标出已知角的度数和已知边的长度,不要求写作法,但要保留作图痕迹。

(1)用直尺和圆规作出一个满足条件的三角形。
(2)你是否还能作出一个既满足题目条件,又与(1)所画的三角形不全等的三角形？若能,请作出这样的三角形；若不能,请说明理由。

答案：
(1) 作图：
① 作∠MAN=40°；
② 在射线AM上截取AB=a，在射线AN上截取AC=b；
③ 连接BC。
△ABC即为所求，其中∠A=40°，AB=a，AC=b。（保留作图痕迹）
(2) 能。
作图：
① 作线段BC=b；
② 以B为顶点，作∠CBD=40°；
③ 以C为圆心，a为半径画弧，交BD于A、A'两点（A与A'不重合）；
④ 连接AC（或A'C）。
△ABC（或△A'BC）与
(1)中△ABC不全等，其中∠B=40°，BC=b，AC=a（或A'C=a）。（保留作图痕迹）

【典型例题】如图,已知 $ ED \perp AB $,$ FC \perp AB $,垂足分别为 $ D $,$ C $,$ AC = BD $,$ AE = BF $。求证：

(1) $ \triangle AED \cong \triangle BFC $；
(2) $ AE // BF $。

答案：

【证明】
(1) $ \because AC = BD $,

$ \therefore AC + CD = BD + CD $,即 $ AD = BC $。

$ \because ED \perp AB $,$ FC \perp AB $,

$ \therefore \angle ADE = \angle BCF = 90° $。

在 $ Rt \triangle ADE $ 与 $ Rt \triangle BCF $ 中,$ \begin{cases} AE = BF, \\ AD = BC, \end{cases} $

$ \therefore Rt \triangle ADE \cong Rt \triangle BCF (HL) $。

(2) 由
(1) $ \triangle AED \cong \triangle BFC $,得 $ \angle A = \angle B $,

$ \therefore AE // BF $。

如图,已知 $ AB \perp BD $,$ CD \perp BD $,若用“HL”判定 $ Rt \triangle ABD $ 和 $ Rt \triangle CDB $ 全等,则需要添加的条件是(A)

A.$ AD = CB $
B.$ \angle A = \angle C $
C.$ BD = DB $
D.$ AB = CD $

答案： A