《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

5. 计算：
(1) $ b^{2m + 2} ÷ b^{2} $；
(2) $ (-a)^{8} ÷ (-a^{5}) $.

答案：
(1)
根据同底数幂的除法法则：$b^m÷ b^n = b^{m - n}$（$b\neq0$，$m$，$n$是整数，且$m\gt n$），对于$b^{2m + 2}÷ b^{2}$，有：
$b^{2m + 2}÷ b^{2}=b^{(2m + 2)-2}=b^{2m}$
(2)
先根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$将$(-a)^{8}$化简，$(-a)^{8}=a^{8}$。
再根据同底数幂的除法法则计算$(-a)^{8}÷(-a^{5})$，即$a^{8}÷(-a^{5})$。
根据同底数幂的除法法则可得：$a^{8}÷(-a^{5})=-a^{8 - 5}=-a^{3}$
综上，答案依次为：
(1)$b^{2m}$；
(2)$-a^{3}$。

6. 计算：(1) $ \left( \dfrac{1}{16}x^{3}y^{2}z \right) ÷ \left( \dfrac{1}{48}x^{2}y \right) $；
(2) $ \left( -\dfrac{3}{5}x^{2}y^{3} \right) ÷ (3x^{2}y) \cdot \left( -\dfrac{1}{3}x \right) $；
(3) $ (3a^{2}b)^{2} \cdot (-5ab^{2}) ÷ (15a^{4}b^{2}) $；
(4) $ (36a^{4}b^{3} - 9a^{3}b^{2} + 4a^{2}b^{2}) ÷ (-6a^{2}b) $.

答案：
(1) 原式$=\left(\dfrac{1}{16}÷\dfrac{1}{48}\right)\cdot(x^{3}÷ x^{2})\cdot(y^{2}÷ y)\cdot z=3xyz$
(2) 原式$=\left(-\dfrac{3}{5}÷3\right)\cdot(x^{2}÷ x^{2})\cdot(y^{3}÷ y)\cdot\left(-\dfrac{1}{3}x\right)=\left(-\dfrac{1}{5}y^{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{1}{3}x\right)=\dfrac{1}{15}xy^{2}$
(3) 原式$=9a^{4}b^{2}\cdot(-5ab^{2})÷15a^{4}b^{2}=-45a^{5}b^{4}÷15a^{4}b^{2}=-3ab^{2}$
(4) 原式$=36a^{4}b^{3}÷(-6a^{2}b)-9a^{3}b^{2}÷(-6a^{2}b)+4a^{2}b^{2}÷(-6a^{2}b)=-6a^{2}b^{2}+\dfrac{3}{2}ab-\dfrac{2}{3}b$

7. 先化简,再求值：
$ (a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b) $,
其中$ a = \dfrac{1}{2} $,$ b = -1 $.

答案： 解题步骤：
1. 化简原式
$ \begin{aligned} &(a^{2}b - 2ab^{2} - b^{3}) ÷ b - (a + b)(a - b) \\ =& \frac{a^{2}b}{b} - \frac{2ab^{2}}{b} - \frac{b^{3}}{b} - (a^{2} - b^{2}) \quad （多项式除以单项式法则、平方差公式） \\ =& a^{2} - 2ab - b^{2} - a^{2} + b^{2} \quad （化简各项） \\ =& -2ab \quad （合并同类项） \end{aligned} $
2. 代入求值
当 $ a = \frac{1}{2} $, $ b = -1 $ 时，
$ -2ab = -2 × \frac{1}{2} × (-1) = 1 $
最终结论：
$\boxed{1}$

8. 已知$ 5^{x} = 3 $,$ 5^{y} = 2 $,则$ 5^{2x - 3y} = $(D)
A.$ \dfrac{3}{4} $
B.$ 1 $
C.$ \dfrac{2}{3} $
D.$ \dfrac{9}{8} $

答案： D

9. 若$ x 满足 (x - 2)^{x + 1} = 1 $,则整数$ x $的值为-1，1，3.

答案： -1，1，3

10. 课堂上小李给同学们表演了一个有趣的猜数游戏,游戏规则如下：
(1) 每位同学在心里想好一个除了$ 0 $以外的数；
(2) 把这个数加上$ 3 $后再平方；
(3) 然后减去$ 9 $；
(4) 再除以所想的这个数；
(5) 最后把结果告诉我,我便能立即说出你原来所想的数是多少.
你知道其中的奥妙吗？

答案： 设所想的数为$x$（$x \neq 0$）。
根据游戏规则，计算步骤如下：
$(x + 3)^{2} - 9$
$=x^{2} + 6x + 9 - 9$
$=x^{2} + 6x$
$（平方展开并化简）$
$\frac{x^{2} + 6x}{x}$
$=x + 6 （除以所想的数x）$
由于最终结果为$x + 6$，而小李能立即说出原来所想的数，设最终结果为$y$，则有：
$y = x + 6$
$x = y - 6$
因此，小李只需将同学告诉的结果减去6，即可得到同学原来所想的数。