《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

6. 如图 1,已知△ABC 中,∠BAC= 90°,AB= AC,AE 是过点 A 的一条直线,且点 B 和点 C 在 AE 的异侧,BD⊥AE 于点 D,CE⊥AE 于点 E.

(1)求证：BD= DE+CE.
(2)如图 2,若直线 AE 绕点 A 旋转到该位置时(BD＜CE),其余条件不变,问 BD 与 DE,CE 的关系如何？请予以证明.
(3)若直线 AE 绕点 A 旋转到图 3 所示的位置时(BD＞CE),其余条件不变,问 BD 与 DE,CE 的关系如何？请直接写出结果,不需说明理由.

答案：
(1)证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠ABD=∠CAE\\AB=AC\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD=AE，AD=CE．
∵AE=AD+DE，
∴AE=CE+DE．
∴BD=DE+CE．
(2)BD=CE-DE．
证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠ABD=∠CAE\\AB=AC\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴AE=DE-AD=DE-CE．
∴BD=CE-DE．
(3)BD=DE-CE．

【典型例题1】如图,已知 $ AB = DC $,$ AF = DE $,$ BE = CF $。求证：

(1) $ \triangle ABF \cong \triangle DCE $；
(2) $ AF // DE $。

答案：

【证明】
(1) $ \because BE = CF $,

$ \therefore BE - EF = CF - EF $,

即 $ BF = CE $。

在 $ \triangle ABF $ 和 $ \triangle DCE $ 中,

$\left\{ \begin{array}{l} AB = DC, \\ AF = DE, \\ BF = CE, \end{array} \right. $

$ \therefore \triangle ABF \cong \triangle DCE(SSS) $。

(2) $ \because \triangle ABF \cong \triangle DCE $,

$ \therefore \angle AFB = \angle DEC $。

又 $ \angle AFB + \angle AFE = 180^{\circ} $,$ \angle DEC + \angle DEF = 180^{\circ} $,

$ \therefore \angle AFE = \angle DEF $,

$ \therefore AF // DE $。