《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题1】下列分解因式：①$x^{3}-4x= x(x^{2}-4)$；②$a^{2}-3a+2= (a-2)(a-1)$；③$a^{2}-2a-2= a(a-2)-2$；④$x^{2}+x+\frac{1}{4}= (x+\frac{1}{2})^{2}$,其中正确的是②④.(只填序号)

答案： 【解析】①分解不彻底,显然,因式$x^{2}-4$可以继续分解；②分解正确(可通过整式乘法进行检验)；③整体上并没有化成乘积的形式,所以错误；④分解正确.综上可知,②④正确.
【答案】②④

1. 下列等式中从左到右的变形,属于因式分解的是(D)
A.$a(x-y)= ax-ay$
B.$x^{2}+2x+1= x(x+2)+1$
C.$(x+1)(x+3)= x^{2}+4x+3$
D.$x^{3}-x= x(x+1)(x-1)$

答案： D

【典型例题2】分解因式：
(1)$x^{2}y-9y^{3}$；
(2)$16a-8axy+ax^{2}y^{2}$；
(3)$4(x+y)^{2}+25-20(x+y)$.

答案： 思路导引 先提取公因式,再利用公式法分解因式.
【解】
(1)$x^{2}y-9y^{3}$
$=y(x^{2}-9y^{2})$
$=y[x^{2}-(3y)^{2}]$
$=y(x+3y)(x-3y)$.
(2)$16a-8axy+ax^{2}y^{2}$
$=a(16-8xy+x^{2}y^{2})$
$=a(4-xy)^{2}$.
(3)$4(x+y)^{2}+25-20(x+y)$
$=4(x+y)^{2}-20(x+y)+25$
$=[2(x+y)]^{2}-2×2(x+y)×5+5^{2}$
$=[2(x+y)-5]^{2}$
$=(2x+2y-5)^{2}$.
规律方法 因式分解的一般步骤：
(1)观察所给的多项式的各项有无公因式,若有,则应先提出公因式.
(2)若没有公因式或公因式已经提出,再观察多项式的项数：①若是二项式,看是否符合平方差公式的特点,若符合,就按照平方差公式进行分解；②若是三项式,看是否符合完全平方公式的特点,若符合,就按照完全平方公式继续分解.
(3)当上述方法不能直接用于因式分解时,可根据多项式的特点将其进行分组变形成能提公因式或运用公式的形式,再用上述方法进行分解.