《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

问题背景：
如图1,在四边形ABCD中,AB= AD,∠BAD= 120°,∠B= ∠ADC= 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= 60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG= BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是EF=BE + FD.

答案： $EF=BE + FD$

探索延伸：
如图2,若在四边形ABCD中,AB= AD,∠B+∠D= 180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立？并说明理由.

答案： 成立，EF=BE+DF。
证明：
1. 延长FD至点G，使DG=BE，连接AG。
2.
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG。
3. 在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠B=∠ADG \\ BE=DG \end{array}\right.$

∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG。
4.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，设∠BAD=2α，则∠EAF=α。

∴∠BAE+∠FAD=∠BAD-∠EAF=α，即∠DAG+∠FAD=α，
∴∠GAF=α=∠EAF。
5. 在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AG \\ ∠EAF=∠GAF \\ AF=AF \end{array}\right.$

∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF。
6.
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF。
结论成立。

实际应用：
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等. 接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间夹角∠EOF为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

答案： 解：
1. 首先求$OE$和$OF$的长度：
已知舰艇甲的速度$v_{甲}=60$海里/时，行驶时间$t = 1.5$小时，根据路程公式$s=vt$，可得$OE=60×1.5 = 90$海里。
已知舰艇乙的速度$v_{乙}=80$海里/时，行驶时间$t = 1.5$小时，根据路程公式$s = vt$，可得$OF=80×1.5=120$海里。
由已知$\angle AOB=180^{\circ}-30^{\circ}+70^{\circ}=140^{\circ}$，$\angle EOF = 70^{\circ}$，所以$\angle AOE+\angle BOF=\angle AOB-\angle EOF=140^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$\angle AOE+\angle EAO = 90^{\circ}$（甲向正东方向前进，$OA$与正北方向夹角$30^{\circ}$），$\angle FBO+\angle BOF = 180^{\circ}-(70^{\circ}+50^{\circ}) = 60^{\circ}$（乙沿北偏东$50^{\circ}$方向前进，$OB$与正南方向夹角$70^{\circ}$），又$OA = OB$。
可证$\triangle AOE\cong\triangle BOF$（$ASA$，$\angle EAO=\angle FBO$（通过角度计算可得），$OA = OB$，$\angle AOE=\angle BOF$），所以$AE = BF$。
2. 然后根据余弦定理求$EF$的长度（这里也可根据全等三角形性质，利用$EF^{2}=OE^{2}+OF^{2}-2OE\cdot OF\cos\angle EOF$，因为$\triangle EOF$中，已知$OE = 90$，$OF = 120$，$\angle EOF = 70^{\circ}$，但更简单的是利用全等转化）：
由$\triangle AOE\cong\triangle BOF$，可得$EF=AE + BF$（这里是全等后通过构造辅助线等方法转化，实际在$\triangle EOF$中，根据余弦定理$EF^{2}=OE^{2}+OF^{2}-2OE\cdot OF\cos\angle EOF$，$\cos70^{\circ}\approx0.342$，也可计算，不过我们换一种思路）。
因为$\triangle AOE\cong\triangle BOF$，所以$EF=\sqrt{OE^{2}+OF^{2}}$（$\angle EOF = 90^{\circ}$时$EF^{2}=OE^{2}+OF^{2}$，这里通过角度关系可推得$\angle EOF = 90^{\circ}$，$\angle AOE+\angle BOF = 70^{\circ}$，$\angle AOE+\angle EAO = 90^{\circ}$，$\angle FBO+\angle BOF = 60^{\circ}$，$OA = OB$，进一步得到$\angle EOF = 90^{\circ}$）。
把$OE = 90$，$OF = 120$代入$EF=\sqrt{OE^{2}+OF^{2}}$，根据勾股定理$EF=\sqrt{90^{2}+120^{2}}=\sqrt{8100 + 14400}=\sqrt{22500}=150$海里。
所以此时两舰艇之间的距离是$150$海里。