《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

【典型例题 1】如图所示。

(1)若 $AE$ 是 $\angle DAC$ 的平分线,则 $AH$ 是 $\triangle$ AGF的角平分线,$AE$ 是 $\triangle$ ADC的角平分线。
(2)若 $AF = FC$,则 $\triangle ABC$ 的一条中线是 BF。
(3)若 $AD\perp BC$,垂足为点 $D$,则 $AD$ 是哪些三角形的高？
$\triangle ABD$,$\triangle ADE$,$\triangle ABE$,$\triangle AEC$,$\triangle ABC$,$\triangle ADC$。

答案： 【解】
(1)$AGF$ $ADC$
(2)$BF$
(3)$\triangle ABD$,$\triangle ADE$,$\triangle ABE$,$\triangle AEC$,$\triangle ABC$,$\triangle ADC$。

1. 如图,在下面方格纸中,每个小正方形的边长均为 $1$,点 $A$,$B$,$C$ 在小正方形的顶点上。

(1)画出 $\triangle ABC$ 中边 $BC$ 上的高 $AD$；
(2)画出 $\triangle ABC$ 中边 $AC$ 上的中线 $BE$；
(3)直接写出 $\triangle ABE$ 的面积为 3。

答案： 1. （1）
过点$A$作$AD\perp BC$交$BC$于点$D$（利用方格纸的直角来画）。
2. （2）
先找到$AC$的中点$E$（数方格，$AC$横向占$3$格，纵向占$3$格，找到中点），再连接$BE$。
3. （3）
解：
利用割补法求$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=4×3-\frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×4$
$=12 - \frac{3}{2}-\frac{9}{2}-4$
$=12-( \frac{3 + 9}{2})-4$
$=12 - 6-4$
$=2$。
因为$E$是$AC$中点，根据等底同高的三角形面积关系（中线将三角形分成面积相等的两部分），$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
所以$S_{\triangle ABE}= 3$。
故答案为$3$。

【典型例题 2】如图,已知 $AD$,$AE$ 分别是 $\triangle ABC$ 的高和中线,$AB = 6$,$AC = 8$,$BC = 10$,$\angle CAB = 90^{\circ}$。

(1)求 $AD$ 的长；
(2)求 $\triangle ABE$ 的面积；
(3)求 $\triangle ACE$ 与 $\triangle ABE$ 的周长的差。

答案： 【解】
(1)$\because S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}AB\cdot AC= \frac{1}{2}× 6× 8 = 24$,又 $S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}AD\cdot BC = 24$,
$\therefore AD = 4.8$。
(2)$\because AE$ 为 $\triangle ABC$ 的中线,
$\therefore S_{\triangle ABE}= S_{\triangle ACE}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}× 24 = 12$。
(3)$\triangle ACE$ 与 $\triangle ABE$ 的周长差为 $AC + CE + AE-(AB + BE + AE)= AC - AB = 8 - 6 = 2$。