《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

2. 阅读以下材料.
分解因式：$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$.
解：将“$x+y$”看成整体,令$x+y= A$,则原式$=A^{2}+2A+1= (A+1)^{2}$.
再将“A”还原,得原式$=(x+y+1)^{2}$.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题：
(1)分解因式：$(x-y)^{2}-2(x-y)+1= $$(x - y - 1)^{2}$；
(2)分解因式：$(a^{2}-4a+2)(a^{2}-4a+6)+4$；
(3)求证：无论$n$为何值,式子$(n^{2}-2n-3)(n^{2}-2n+5)+17的值一定是一个不小于1$的数.

答案：
(1)
令$x - y = B$，则原式$ = B^{2}-2B + 1=(B - 1)^{2}$。
将$B$还原，得原式$=(x - y - 1)^{2}$。
(2)
令$a^{2}-4a=C$，则原式$=(C + 2)(C + 6)+4$
$=C^{2}+6C+2C + 12 + 4$
$=C^{2}+8C+16$
$=(C + 4)^{2}$
将$C$还原，得原式$=(a^{2}-4a + 4)^{2}=(a - 2)^{4}$。
(3)
令$n^{2}-2n=D$，则原式$=(D - 3)(D + 5)+17$
$=D^{2}+5D-3D - 15 + 17$
$=D^{2}+2D + 2$
$=(D + 1)^{2}+1$
将$D$还原，得原式$=(n^{2}-2n + 1)^{2}+1=(n - 1)^{4}+1$。
因为$(n - 1)^{4}\geqslant0$，所以$(n - 1)^{4}+1\geqslant1$。
即无论$n$为何值，式子$(n^{2}-2n - 3)(n^{2}-2n + 5)+17$的值一定是一个不小于$1$的数。
综上，答案依次为：
(1)$(x - y - 1)^{2}$；
(2)$(a - 2)^{4}$；
(3)证明过程如上述，式子值不小于$1$。