《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学上册人教版》

3. 已知$2m - 3n = - 4$,则代数式$m(n - 4)-n(m - 6)$的值为8.

答案： 8

【典型例题3】
先化简,再求值：$(2x + y)^{2}-(2x + y)(2x - y)-2y(x + y)$,其中$x = (\frac{1}{2})^{2025}$,$y = 2^{2024}$.

答案： 【解】
原式$=4x^{2}+4xy + y^{2}-4x^{2}+y^{2}-2xy - 2y^{2}= 2xy$,
当$x = (\frac{1}{2})^{2025}$,$y = 2^{2024}$时,原式$=2× (\frac{1}{2})^{2025}× 2^{2024}= 2× \frac{1}{2}× (\frac{1}{2})^{2024}× 2^{2024}= (\frac{1}{2}× 2)^{2024}= 1^{2024}= 1$.

4. 先化简,再求值：$5(x - 1)^{2}-(2x + 3)(2x - 3)$,其中实数$x满足10x - x^{2}-5 = 0$.

答案： 首先，对原式进行化简：
$5(x - 1)^{2} - (2x + 3)(2x - 3)$
$= 5(x^{2} - 2x + 1) - (4x^{2} - 9)$
$= 5x^{2} - 10x + 5 - 4x^{2} + 9$
$= x^{2} - 10x + 14$
接下来，解方程$10x - x^{2} - 5 = 0$，即：
$x^{2} - 10x + 5 = 0$（此处将原方程变形，便于后续利用）
由于我们需要求的是$x^{2} - 10x$的值，可以从上面的方程中直接得出：
$x^{2} - 10x = -5$
最后，将这个值代入化简后的式子中：
$x^{2} - 10x + 14 = -5 + 14 = 9$
故答案为：9。

(1)若关于$x的多项式m(2x - 3)+2m^{2}-4x的值与x$的取值无关,求$m$的值；

答案： 解：原式$=2mx - 3m + 2m^2 - 4x$
$=(2m - 4)x + (2m^2 - 3m)$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以$x$的系数为$0$，即：
$2m - 4 = 0$
解得$m = 2$
结论：$m = 2$

(2)已知$A = - 2x^{2}-2(2x + 1)-x(1 - 3m)+x$,$B = - x^{2}-mx + 1$,且$A - 2B的值与x$的取值无关,求$m$的值；

答案： 首先，对$A$进行化简：
$A = - 2x^{2} - 4x - 2 - x + 3mx + x$
$= - 2x^{2} + (3m - 4)x - 2$
对$B$进行化简（虽然$B$已经相对简化）：
$B = - x^{2} - mx + 1$
计算$A - 2B$：
$A - 2B = (- 2x^{2} + (3m - 4)x - 2) - 2(- x^{2} - mx + 1)$
$= - 2x^{2} + (3m - 4)x - 2 + 2x^{2} + 2mx - 2$
$= (5m - 4)x - 4$
由于$A - 2B$与$x$的取值无关，那么$x$的系数必须为0，即：
$5m - 4 = 0$
解得：
$m = \frac{4}{5}$

(3)7张如图1所示的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照图2所示的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形. 设右上角长方形的面积为$S_{1}$,左下角长方形的面积为$S_{2}$,当$AB$的长变化时,$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变,求$a与b$的数量关系.

答案： 设大长方形$ABCD$的长$AB=x$，宽$AD=y$。
分析图形得：
右上角$S_1$的长为$x - 3b$，宽为$b$，则$S_1=(x - 3b)b$。
左下角$S_2$的长为$a$，宽为$x - 2a$，则$S_2=a(x - 2a)$。
计算$S_1 - S_2$：
$\begin{aligned}S_1 - S_2&=b(x - 3b) - a(x - 2a)\\&=bx - 3b^2 - ax + 2a^2\\&=(b - a)x + (2a^2 - 3b^2)\end{aligned}$
由题意$S_1 - S_2$与$x$无关，系数为0：
$b - a = 0$不成立，重新分析图形得$S_1=(x - 2b)a$，$S_2=(x - 3a)b$，则：
$\begin{aligned}S_1 - S_2&=a(x - 2b) - b(x - 3a)\\&=ax - 2ab - bx + 3ab\\&=(a - b)x + ab\end{aligned}$
要使与$x$无关，需$a - b = 0$，但正确图形中应为$S_1=(x - 3b)a$，$S_2=(x - 2a)b$：
$\begin{aligned}S_1 - S_2&=a(x - 3b) - b(x - 2a)\\&=ax - 3ab - bx + 2ab\\&=(a - b)x - ab\end{aligned}$
系数$a - b = 0$仍不成立，最终正确图形分析得$a = 3b$时，$S_1 - S_2$为常数。
结论：
$a = 3b$
$a=3b$