《2025年点拨训练七年级数学上册沪科版安徽专版》

7. (8 分)[2025 年 1 月合肥期末]我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二,直金十九两；牛二、羊五,直金十六两。问牛、羊各直金几何？”译文：“5 头牛、2 只羊,值 19 两银子；2 头牛、5 只羊,值 16 两银子。问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文,解答以下两个问题：
(1) 求每头牛、每只羊各值多少两银子；
(2) 若某商人准备用 19 两银子买牛和羊(要求：既有牛也有羊,且银两须全部用完),请问商人有几种购买方法？列出所有的购买方法。

答案： $(1)$ 求每头牛、每只羊各值多少两银子
解：设每头牛值$x$两银子，每只羊值$y$两银子。
根据题意可列方程组$\begin{cases}5x + 2y = 19 \\2x + 5y = 16 \end{cases}$
给$5x + 2y = 19$两边同时乘以$2$，得$10x + 4y = 38$ $·s$①
给$2x + 5y = 16$两边同时乘以$5$，得$10x + 25y = 80$ $·s$②
用②$-$①消去$x$可得：
$\begin{aligned}(10x + 25y)-(10x + 4y)&=80 - 38\\10x + 25y - 10x - 4y&=42\\21y&=42\\y&=2\end{aligned}$
把$y = 2$代入$5x + 2y = 19$，得$5x + 2×2 = 19$，即$5x + 4 = 19$，$5x=19 - 4$，$5x = 15$，解得$x = 3$。
所以每头牛值$3$两银子，每只羊值$2$两银子。
$(2)$ 求商人的购买方法
解：设购买$a$头牛，$b$只羊，$a$、$b$为正整数。
由题意得$3a + 2b = 19$，则$2b=19 - 3a$，$b=\frac{19 - 3a}{2}$。
因为$a$、$b$为正整数，所以$19 - 3a$是$2$的倍数。
当$a = 1$时，$b=\frac{19 - 3×1}{2}=\frac{19 - 3}{2}=8$；
当$a = 3$时，$b=\frac{19 - 3×3}{2}=\frac{19 - 9}{2}=5$；
当$a = 5$时，$b=\frac{19 - 3×5}{2}=\frac{19 - 15}{2}=2$。
所以商人有$3$种购买方法，分别是：
- 方法一：购买$1$头牛，$8$只羊；
- 方法二：购买$3$头牛，$5$只羊；
- 方法三：购买$5$头牛，$2$只羊。
综上，答案为：$(1)$每头牛值$3$两银子，每只羊值$2$两银子；$(2)$商人有$3$种购买方法，分别是购买$1$头牛，$8$只羊；购买$3$头牛，$5$只羊；购买$5$头牛，$2$只羊。

8. 整体思想已知关于 $ x $,$ y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = k, \\ x + 2y = -1 \end{cases} $ 的解互为相反数,则 $ k $ 的值为1。

答案： 1

9. 分类讨论思想甲、乙两人分别从 $ A $、$ B $ 两地同时出发,相向而行,甲的速度是 $ 24 \, km/h $,乙的速度是甲的速度的 $ \frac{3}{4} $,出发 $ 3 \, h $ 后两人之间的距离为 $ A $、$ B $ 两地之间距离的 $ \frac{1}{4} $,则 $ A $、$ B $ 两地之间的距离为168或100.8 $ km $。

答案： 168或100.8

10. (8 分)[2023·安徽中考]根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 $ 10\% $,乙地降价 5 元。已知销售单价调整前甲地比乙地少 10 元,调整后甲地比乙地少 1 元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价。

答案： 解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x元、y元，根据题意得，$\left\{\begin{array}{l} x+10=y,\\ x(1+10\% )+1=y-5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=40,\\ y=50.\end{array}\right. $
答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元、50元．

11. (8 分)[2024·安徽中考]乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业。某村有部分返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植 $ A $,$ B $ 两种农作物。种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：

已知农作物种植人员共 24 位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共 60 万元。问 $ A $,$ B $ 这两种农作物的种植面积各多少公顷？

答案： 解：设A农作物的种植面积为x公顷，B农作物的种植面积为y公顷，
由题意可得，$\left\{\begin{array}{l} 4x+3y=24,\\ 8x+9y=60,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=4.\end{array}\right. $
答：A农作物的种植面积为3公顷，B农作物的种植面积为4公顷．