《2025年点拨训练七年级数学上册沪科版安徽专版》

1. (12 分)如图①,已知线段 $ AB = 14 cm $,$ C $ 为线段 $ AB $ 上的一个动点,$ D $,$ E $ 分别是 $ AC $ 和 $ BC $ 的中点.
(1) 若 $ C $ 恰好是 $ AB $ 的中点,则 $ DE = $7 $ cm $；若 $ AC = 6 cm $,则 $ DE = $7 $ cm $；
(2) 随着点 $ C $ 位置的改变,$ DE $ 的长是否发生变化？如果发生变化,请说明理由；如果不发生变化,请求出 $ DE $ 的长；
(3) 知识迁移：如图②,已知 $ \angle AOB = 130^{\circ} $,在 $ \angle AOB $ 的内部画射线 $ OC $,若 $ OD $,$ OE $ 分别平分 $ \angle AOC $ 和 $ \angle BOC $,试说明 $ \angle DOE $ 的度数与射线 $ OC $ 的位置无关.

拓展设问如图,已知 $ OB $,$ OC $ 是 $ \angle AOD $ 内部的两条射线,$ OM $ 平分 $ \angle AOB $,$ ON $ 平分 $ \angle COD $,若 $ \angle AOD = \alpha $,$ \angle MON = \beta $,则 $ \angle BOC $ 的度数为2β-α. (用含 $ \alpha $,$ \beta $ 的式子表示)

答案： 1. 解：
(1)7；7
(2)DE 的长不发生变化，DE=7cm.
(3)因为 OD 平分∠AOC，所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC.因为 OE 平分∠BOC，所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC.所以 ∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×130°=65°.所以∠DOE 的度数是个定值，与射线 OC 的位置无关.【拓展设问】2β-α

2. (8 分)已知线段 $ AB = 4 $,$ C $ 是直线 $ AB $ 上的一点,且 $ BC = 3AB $,若 $ E $,$ F $ 分别是线段 $ AB $,$ BC $ 的中点,求线段 $ EF $ 的长. (要求画出示意图)

答案：
2. 解：因为 BC=3AB，AB=4，所以 BC=12.因为 E，F 分别是线段 AB，BC 的中点，所以 BE=$\frac{1}{2}$AB=2，BF=$\frac{1}{2}$BC=6.当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图①所示，EF=BE+BF=2+6=8.当点 C 在线段 BA 的延长线上时，如图②所示，EF=BF - BE=6 - 2=4.综上可知，线段 EF 的长为 8 或 4.

3. (8 分)如图,已知 $ \angle BOC = 2\angle AOB $,$ OD $ 平分 $ \angle AOC $.
(1) 请你利用直尺和量角器,根据题意在现有图形中补全图形；
(2) 当 $ \angle BOD = 30^{\circ} $ 时,求 $ \angle AOB $ 的度数.

答案：
3. 解：
(1)补全图形如下: 　　　　　
(2)当 OC 与 OB 在 OA 同侧时，如图①所示，因为∠BOC=2∠AOB，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=3∠AOB.因为 OD 平分∠AOC，所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{3}{2}$∠AOB，所以 ∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = $\frac{3}{2}$∠AOB - ∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，所以∠AOB=60°.当 OC 与 OB 在 OA 异侧时，如图②所示，因为∠BOC=2∠AOB，所以∠AOC=∠BOC - ∠AOB=∠AOB.因为 OD 平分∠AOC，所以∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，所以 ∠BOD = ∠AOD + ∠AOB = $\frac{1}{2}$∠AOB + ∠AOB=$\frac{3}{2}$∠AOB=30°，所以∠AOB=20°.综上所述，∠AOB 的度数为 60°或 20°.