《2025年点拨训练七年级数学上册沪科版安徽专版》

代数推理
(8 分)
中考趋势·阅读理解
2024·厦门大同中学期中
【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被 7 整除.

【类比解决】尝试用“割尾法”判断 455 能否被 7 整除,并说明理由.
【推理验证】已知三位数$\overline{abc}$.
(1)请用含$a$,$b$,$c$的代数式表示“割尾法”后所得的差$\overline{ab}-2c$.
(2)现在对材料中的判断方法“若$\overline{ab}-2c$是 7 的倍数,则$\overline{abc}$能被 7 整除”进行验证,下面是思路分析.
分析：要证$\overline{abc}$能被 7 整除,需把$\overline{abc}$表示成 7 的倍数,
已知$\overline{abc}= 100a + 10b + c = 10(10a + b)+c$①,
因为$\overline{ab}-2c$是 7 的倍数,可设$\overline{ab}-2c = (1)中的代数式= 7k$($k$为整数)②,
只需把②式变形代入①式即可.
请根据上述分析写出推理过程.

答案： 【类比解决】能，理由如下：
对于三位数 455，割掉末位数字 5，得 45，45 - 5×2 = 35，因为 35 是 7 的倍数，所以 455 能被 7 整除.
【推理验证】
(1)$\overline{ab}-2c=10a+b-2c$.
(2)设$\overline{ab}-2c=10a+b-2c=7k$(k 为整数)，
则$10a+b=7k+2c$，
所以$\overline{abc}=100a+10b+c=10\left(10a+b\right)+c=$
$10\left(7k+2c\right)+c=70k+21c=7\left(10k+3c\right)$，
所以$\overline{abc}$能被 7 整除.