《2025年点拨训练七年级数学上册沪科版安徽专版》

4. (12 分)如图,线段 $ AB = 24 $,动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度沿射线 $ AB $ 运动,$ M $ 为 $ AP $ 的中点. 设点 $ P $ 的运动时间为 $ x s $.
(1) 6 $ s $ 后,$ PB = 2AM $；
(2) 当点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上运动时,试说明 $ 2BM - BP $ 为定值；
(3) 当点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的延长线上运动时,$ N $ 为 $ BP $ 的中点,求 $ MN $ 的长.

(2)由题意，知 AP=2x，所以 BP=AB - AP=24 - 2x，因为 M 为 AP 的中点，所以 AM = PM = $\frac{1}{2}$AP=x，所以 BM=AB - AM=24 - x，所以 2BM - BP=2(24 - x)-(24 - 2x)=24，所以 2BM - BP 为定值.
(3)由(2)知，AP=2x，PM=x. 当点 P 在线段 AB 的延长线上时，BP=AP - AB=2x - 24.因为 N 为 BP 的中点，所以 NP=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(2x - 24)=x - 12，所以 MN=PM - NP=x-(x - 12)=12.

答案： 4. 解：
(1)6
(2)由题意，知 AP=2x，所以 BP=AB - AP=24 - 2x，因为 M 为 AP 的中点，所以 AM = PM = $\frac{1}{2}$AP=x，所以 BM=AB - AM=24 - x，所以 2BM - BP=2(24 - x)-(24 - 2x)=24，所以 2BM - BP 为定值.
(3)由
(2)知，AP=2x，PM=x. 当点 P 在线段 AB 的延长线上时，BP=AP - AB=2x - 24.因为 N 为 BP 的中点，所以 NP=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$(2x - 24)=x - 12，所以 MN=PM - NP=x-(x - 12)=12.

5. (12 分)已知 $ OE $ 是 $ \angle BOC $ 的平分线.

(1) 操作发现：如图①,$ \angle COD = 90^{\circ} $,
①若 $ \angle AOC = 40^{\circ} $,则 $ \angle DOE = $20°；
②若 $ \angle AOC = \alpha $,则 $ \angle DOE = $$\frac{1}{2}\alpha$ (用含 $ \alpha $ 的代数式表示)；
(2) 操作探究：将图①中的 $ \angle COD $ 绕顶点 $ O $ 顺时针旋转到图②的位置,其他条件不变,②中的结论是否仍然成立？试说明理由；
(3) 如图③,已知 $ \angle AOD = \angle BOD = 90^{\circ} $,$ \angle COD = 60^{\circ} $,边 $ OC $、边 $ OD $ 分别绕着点 $ O $ 以每秒 $ 10^{\circ} $、每秒 $ 5^{\circ} $ 的速度顺时针旋转,求第一次 $ \angle COD = 20^{\circ} $ 时,运动了多少秒.
(2)②中的结论仍然成立. 理由：因为∠AOC=α，所以∠BOC=180° - α. 因为 OE 是∠BOC 的平分线，所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90° - $\frac{1}{2}$α，所以∠DOE=∠COD - ∠COE=90° - $\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha\right)$=$\frac{1}{2}$α.
(3)因为∠AOD=∠BOD=90°，∠COD=60°，所以∠AOC=90° - 60°=30°. 设运动时间为 t s，由题意得 90°+5°×t-(30°+10°×t)=20°，解得 t=8，即第一次∠COD=20°时，运动了 8 s.

答案： 5. 解：
(1)①20° ②$\frac{1}{2}$α
(2)②中的结论仍然成立. 理由：因为∠AOC=α，所以∠BOC=180° - α. 因为 OE 是∠BOC 的平分线，所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90° - $\frac{1}{2}$α，所以∠DOE=∠COD - ∠COE=90° - $\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha\right)$=$\frac{1}{2}$α.
(3)因为∠AOD=∠BOD=90°，∠COD=60°，所以∠AOC=90° - 60°=30°. 设运动时间为 t s，由题意得 90°+5°×t-(30°+10°×t)=20°，解得 t=8，即第一次∠COD=20°时，运动了 8 s.