《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

9.（12分）八年级（2）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图所示的风筝的高度$CE$，他们进行了如下操作：
①测得$BD$为$25$米（其中$BD\perp CE$）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线$BC$的长为$65$米；
③牵线放风筝的小明身高$1.6$米.
求风筝的高度$CE$.

答案： 解:在Rt△CDB中,BC=65米,BD=25米,由勾股定理，得CD²=BC² - BD²,所以CD=60米(负值舍去)，所以CE=CD+DE=60+1.6=61.6(米).答:风筝的高度CE为61.6米.

10.（20分）如图①，$B$是正方形$ACDE$的边$CD$上一点，连接$AB$，得到直角三角形$ACB$，三边长分别为$a$，$b$，$c$，将$\triangle ACB$裁剪拼接至$\triangle AEF$的位置，如图②所示，某同学用图①，图②的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.

答案：
证明:如答图，连接BF;
∵AC=b,
∴正方形ACDE的面积为b².
∵CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,
∴BD=CD - BC=b - a,DF=DE+EF=b+a.
∵∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=90°.
∵∠BAC=∠EAE,
∴∠EAF+∠BAE=90°,
∴△BAF为等腰直角三角形,
∴四边形ABDF的面积为$\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b - a)(b + a)=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$.
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,
∴$b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$,
∴$b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}$,
∴$\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}$,
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

11.（20分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=3$，$AC=4$，$D$是$BC$的中点，将$\triangle ABD$沿$AD$翻折得到$\triangle AED$，连接$BE$，$CE$.
（1）求$AD$的长；
（2）判断$\triangle BCE$的形状，并说明理由；
（3）求$CE$的长.

答案：
解:
(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,由勾股定理，得BC=5.
∵D是BC的中点，BC为Rt△ABC的斜边，
∴$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$.
(2)△BCE为直角三角形.理由:
∵D是BC的中点，
∴CD=BD.
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED,
∴DE=DB,
∴CD=DE=DB,
∴∠DEC=∠DCE,∠DEB=∠DBE;
∵∠DEC+∠DCE+∠DEB+∠DBE=180°,
∴∠DEB+∠DEC=90°,
∴∠BEC=90°,
∴△BCE是直角三角形.
(3)如答图，设BE交AD于点O,作AH⊥BC于点H. 由题意，得$AD=DC=DB=\frac{5}{2}$.
∵$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot AC$,
∴$AH=\frac{12}{5}$.由折叠知AE=AB,DE=DB,
∴点A,D均在线段BE的垂直平分线上,
∴AD垂直平分线段BE.
∵$\frac{1}{2}AD\cdot BO=\frac{1}{2}BD\cdot AH$,
∴$BO=\frac{12}{5}$,
∴$BE=2OB=\frac{24}{5}$.在Rt△BCE中,$CE^{2}+BE^{2}=BC^{2}$,即$CE^{2}+(\frac{24}{5})^{2}=5^{2}$,解得$CE=\frac{7}{5}$(负值舍去).