《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

7. 如图,在$△ABC$中,D为BC上一点,$FD⊥BC$,交AC于点F,$DE⊥AB$于点E,$BD= CF$,$BE= CD$,若$∠AFD= 145^{\circ }$,求$∠EDF$的度数.

答案： 解:
∵∠AFD=145°,
∴∠DFC=35°.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEB=∠FDC=90°.在Rt△BDE和Rt△CFD中,{BD=CF,BE=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL),
∴∠BDE=∠CFD=35°,
∴∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE=55°.

8. 如图,$DE⊥AC,BF⊥AC,AD= BC,DE= BF$. 求证：$AB// DC$.

答案： 证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AED=∠CFB=90°,∠AFB=∠CED=90°.在Rt△ADE和Rt△CBF中,{AD=CB,DE=BF,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL),
∴AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在△AFB和△CED中,{AF=CE,∠AFB=∠CED,BF=DE,
∴△AFB≌△CED(SAS),
∴∠ACD=∠BAC,
∴AB//DC.

9. 在$△ABC$中,$AB= AC$,DE是过点A的直线,$BD⊥DE$于点D,$CE⊥DE$于点E.
(1)如图①,若点B,C在DE的同侧,且$AD= CE$. 求证：$AB⊥AC$；
(2)如图②,若点B,C在DE的两侧,且$AD= CE$,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗？若是,请给出证明；若不是,请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中,{AB=CA,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),
∴∠DBA=∠EAC.
∵∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,
∴∠BAC=180°-(∠DAB+∠EAC)=90°,
∴AB⊥AC.
(2)解:AB⊥AC.证明:与
(1)同理可证得Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠CAE+∠ECA=90°,
∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.