《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

8. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 5cm,AC= 3cm$,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动.设运动的时间为t s,当$t= $2或$\frac{25}{8}$时,$△ABP$为直角三角形.

答案： 2或$\frac{25}{8}$

9. 在$△ABC$中,$AB= 15,AC= 13$,高$AD= 12$,则BC的长为14或4.

答案： 14或4

10. 如图,在四边形ABCD中,$∠BAD= ∠DCB= 90^{\circ }$,E,F分别是BD,AC的中点,$∠ADC= 120^{\circ },EF= 1$,则$AF= $$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

11. 如图,AD是$△ABC$的中线,$DE⊥AC$于点E,DF是$△ABD$的中线,且$CE= 2,DE= 4,AE= 8$.求DF的长.

答案： 解:
∵$DE\perp AC$于点E，
∴$\angle AED = \angle CED = 90^{\circ}$.在Rt△ADE中，由勾股定理，得$AD^2 = AE^2 + DE^2 = 8^2 + 4^2 = 80$.同理$CD^2 = 20$，
∴$AD^2 + CD^2 = 100$.
∵$AC = AE + CE = 8 + 2 = 10$，
∴$AC^2 = 100$，
∴$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
∴△ADC是直角三角形，$\angle ADC = 90^{\circ}$，
∴$AD\perp BC$.又
∵AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴$AB = AC = 10$.在Rt△ADB中，
∵$\angle ADB = 90^{\circ}$，F是边AB的中点，
∴$DF = \frac{1}{2}AB = 5$.

12. 在$△ABC$中,$BC= a,AC= b,AB= c$,若$∠C= 90^{\circ }$,如图①,根据勾股定理,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.若$△ABC$不是直角三角形,如图②和图③,请你类比勾股定理,试猜想$a^{2}+b^{2}与c^{2}$的关系,并证明你的结论.

答案：
解:若△ABC是锐角三角形，则有$a^2 + b^2 ＞ c^2$；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有$a^2 + b^2 ＜ c^2$.
证明:当△ABC是锐角三角形时，如答图①，过点A作$AD\perp BC$，垂足为D，设$CD = x$，则$BD = a - x$.由勾股定理，得$b^2 - x^2 = AD^2 = c^2 - (a - x)^2$，即$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 + 2ax - x^2$，
∴$a^2 + b^2 = c^2 + 2ax$.
∵$a ＞ 0$，$x ＞ 0$，
∴$2ax ＞ 0$，
∴$a^2 + b^2 ＞ c^2$.当△ABC是钝角三角形时，如答图②，过点B作$BD\perp AC$，交AC的延长线于点D.设$CD = x$，则$BD^2 = a^2 - x^2$.由勾股定理，得$(b + x)^2 + a^2 - x^2 = c^2$，即$a^2 + b^2 + 2bx = c^2$.
∵$b ＞ 0$，$x ＞ 0$，
∴$2bx ＞ 0$，
∴$a^2 + b^2 ＜ c^2$.