《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT 的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,若$S_{1}+S_{2}+S_{3}= 21$,则$S_{2}$的值是 (D)
A.9.5
B.9
C.7.5
D.7

答案： D

8. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的长方形由两个这样的图形拼成,若$a= 3,b= 4$,则该长方形的面积为24.

答案： 24

9. 勾股定理美妙,证法多样,其中“面积法”是常用方法,当两个全等的直角三角形如图所示摆放时,$∠DAB= 90^{\circ }$.请用“面积法”证明勾股定理.

答案：
证明:如答图，连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=CE=b - a。 $\because S_{四边形ADCB}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$，$S_{四边形ADCB}=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$，$\therefore \frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$，化简，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

10. (2024·鼓楼区期中)用两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形.
(1)用两种方法计算该梯形的面积,说明$a^{2}+b^{2}= c^{2}$;
(2)是否存在一个直角三角形,在直角边长a不变的基础上,它的斜边长c与另一条直角边长b都增加相同的长度,所得三角形仍是一个直角三角形? 请判断并说明理由.

答案： 解:
(1)梯形的面积可表示为$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)$，还可表示为$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^{2}$，$\therefore \frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^{2}$，即$(a + b)(a + b)=2ab + c^{2}$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
(2)不存在。理由:假设存在，且它的斜边长c与另一条直角边长b都增加x(x≠0)，则$a^{2}+(b + x)^{2}=(c + x)^{2}$，即$a^{2}+b^{2}+2bx + x^{2}=c^{2}+2cx + x^{2}$。$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\therefore 2bx = 2cx$。$\because x≠0$，$\therefore b = c$，这与斜边长大于直角边长矛盾，$\therefore$不存在。