《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,∠A= 36^{\circ },BD,CE分别是\triangle ABC,\triangle BCD$的角平分线,则图中的等腰三角形有(A)

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
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答案： A

8. 在$\triangle ABC$中,$∠A= 80^{\circ }$,当$∠B= $80°或50°或20°时,$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案： 80°或50°或20°

9. (2024·东台月考)如图,$D为\triangle ABC$内一点,$CD平分∠ACB,BE⊥CD$,垂足为$D$,交$AC于点E,∠A= ∠ABE$.若$AC= 7,BC= 4$,则$BD$的长为______1.5.

答案： 1.5

10. 如图,$\triangle ABC的面积为1cm^{2}$,$AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P$,则$\triangle PBC$的面积是$\frac{1}{2}$cm².

答案： $\frac{1}{2}$cm²

11. (2024·南通期中)(1)如图①,在$\triangle ABC$中,$BF,CF分别平分∠ABC,∠ACB$,过点$F作直线平行于BC$,分别交$AB,AC于点D,E$,求证：$DE= BD+CE$；
(2)如图②,若$F是∠ABC的平分线和\triangle ABC的外角∠ACG$的平分线的交点,其他条件不变,请猜想线段$DE,DB,EC$之间有何数量关系？证明你的猜想.
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答案：
(1)证明:如答图.
∵在△ABC中，BF,CF分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠1=∠2,∠5=∠4.
∵DE//BC,
∴∠2=∠3,∠4=∠6,
∴∠1=∠3,∠6=∠5,
∴BD=DF,EF=CE,
∴DE=DF+EF=BD+CE.
(2)解:DE+EC=BD.
证明:
∵BF平分∠ABC,
∴∠DBF=∠FBC.
∵DF//BC,
∴∠DFB=∠FBC,
∴∠ABF=∠DFB,
∴BD=DF.
∵CF平分∠ACG,
∴∠ACF=∠FCG.
∵DF//BC,
∴∠DFC=∠FCG,
∴∠ACF=∠DFC,
∴CE=EF.
∵EF+DE=DF,
∴DE+EC=BD.

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 90^{\circ },AB= AC,D是斜边BC$的中点,点$E,F分别在线段AB,AC$上,且$∠EDF= 90^{\circ }$.
(1)求证：$\triangle DEF$为等腰直角三角形；
(2)求证：$S_{四边形AEDF}= S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDF}$；
(3)如果点$E运动到AB$的延长线上,点$F在射线CA上且保持∠EDF= 90^{\circ },\triangle DEF$还是等腰直角三角形吗？请画图并说明理由.
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答案：
(1)证明:如答图①，连接AD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,∠B=∠C=∠1=∠6=45°,
∴AD=BD=CD.
∵∠EDF=90°,
∴∠2+∠3=90°.又∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4.在△BDE和△ADF中,$\begin{cases} ∠B=∠1, \\ BD=AD, \\ ∠4=∠2, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF.又
∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
(2)证明:由
(1)可知△BDE≌△ADF,DE=DF,∠C=∠6=45°,
∴$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle ADF}$.又∠2+∠3=90°,∠2+∠5=90°,
∴∠3=∠5.又AD=CD,
∴△ADE≌△CDF,
∴$S_{\text{四边形}AEDF}=S_{\triangle ADF}+S_{\triangle ADE}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDF}$.
(3)解:是.如答图②,连接AD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,∠1=∠BAD=∠ABD=45°,
∴∠DAF=∠DBE=135°,AD=BD.
∵∠EDF=90°,
∴∠3+∠4=90°.又∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4.在△ADF和△BDE中,$\begin{cases} ∠2=∠4, \\ AD=BD, \\ ∠DAF=∠DBE, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE.又∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.