《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

3. 已知$\triangle ABC和\triangle DEF$为等腰三角形,$AB = AC$,$DE = DF$,$∠BAC = ∠EDF$,点$E在AB$上,点$F在射线AC$上。
(1)如图①,若$∠BAC = 60^{\circ}$,点$F与点C$重合,求证：$AF = AE + AD$；
(2)如图②,若$AD = AB$,求证：$AF = AE + BC$。

答案：
3.证明:
(1)
∵∠BAC=∠EDF=60°，AB=AC，DE=DF，
∴△ABC，△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，
∴∠BCE=∠DCA.
　在△BCE和△ACD中，BC=AC，
　∠BCE=∠ACD，
　CE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE，
∴AE+AD=AE+BE=AB=AF;
(2)如答图，在FA上截取FM=AE，连接DM，设AF与DE的交点为G.
　　　　　　　　　　　　
∵∠BAC=∠EDF，∠AGE=∠DGF，
∴∠AED=∠MFD.
　在△AED和△MFD中，AE=MF，
　∠AED=∠MFD，
　ED=FD，
∴△AED≌△MFD(SAS)，
∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，
　即∠ADM=∠EDF=∠BAC;
　在△ABC和△DAM中，AB=DA，
　∠BAC=∠ADM，
　AC=DM，
∴△ABC≌△DAM(SAS)，
∴AM=BC，
∴AE+BC=FM+AM=AF，即AF=AE+BC;

4. (1)如图①,在四边形$ABCD$中,$∠A = ∠C = 90^{\circ}$,$∠D = 60^{\circ}$,$AB = BC$,点$E$,$F分别在AD$,$CD$上,且$∠EBF = 60^{\circ}$。求证：$EF = AE + CF$；
(2)如图②,若点$E$,$F分别在AD$,$DC$的延长线上,其余条件不变,求证：$AE = EF + CF$。

答案：
4.证明:
(1)如答图①，延长EA至点G，使AG=CF，连接BG，则∠BAG=90°.
　在△ABG和△CBF中，BA=BC，
　∠BAG=∠C，
　AG=CF，
∴△ABG≌△CBF(SAS)，
∴BG=BF，∠CBF=∠ABG.
∵∠BAE=∠C=90°，∠D=60°，
∴∠ABC=360°−90°×2−60°=120°.
∵∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠ABG+∠ABE=∠CBF+∠ABE=∠ABC−∠EBF=120°−60°=60°，
∴∠EBG=∠EBF.
　在△BEG和△BEF中，BG=BF，
　∠EBG=∠EBF，
　BE=BE，
∴△BEG≌△BEF(SAS)，
∴EG=EF;
∵EG=AE+AG，
∴EF=AE+CF;
　　　
(2)如答图②，在AE上截取AG=FC，连接BG;
　在△ABG和△CBF中，BA=BC，
　∠A=∠BCF，
　AG=CF，
∴△ABG≌△CBF(SAS)，
∴BG=BF，∠CBF=∠ABG.
∵∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，
∴∠ABC=360°−90°×2−60°=120°.
∵∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠ABC−∠ABG−∠CBE=∠ABC−∠CBF−∠CBE=∠ABC−∠EBF=120°−60°=60°，
∴∠EBG=∠EBF.
　在△BEF和△BEG中，BF=BG，
　∠EBF=∠EBG，
　BE=BE，
∴△BEF≌△BEG(SAS)，
∴EF=EG;
∵AE=GE+AG，
∴AE=EF+CF;