《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$ 在边 $BC$ 的延长线上,$\angle ACB = 100^{\circ}$,$\angle ABC$ 的平分线交 $AD$ 于点 $E$,过点 $E$ 作 $EH\perp BD$,垂足为 $H$,且 $\angle CEH = 50^{\circ}$。
(1) 求 $\angle ACE$ 的度数；
(2) 求证：$AE$ 平分 $\angle CAF$；
(3) 若 $AC + CD = 14$,$AB = 8.5$,且 $S_{\triangle ACD}= 21$,求 $\triangle ABE$ 的面积。

答案：

(1)解:
∵∠ACB=100°,
∴∠ACD=180°−100°=80°.
∵EH⊥BD,
∴∠CHE=90°.
∵∠CEH=50°,
∴∠ECH=90°−50°=40°,
∴∠ACE=∠ACD−∠ECH=80°−40°=40°.
(2)证明:如答图,过点E分别作EM⊥BF于点M,EN⊥AC于点N.
　　　　　　　
∵BE平分∠ABC,
∴EM=EH.
∵∠ACE=∠ECH=40°,
∴CE平分∠ACD,
∴EN=EH,
∴EM=EN,
∴AE平分∠CAF;
(3)解:
∵AC+CD=14,S△ACD=21,EM=EN=EH,
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=1/2AC·EN+1/2CD·EH=1/2(AC+CD)·EM=21,
　即1/2×14EM=21,解得EM=3.
∵AB=8.5,
∴S△ABE=1/2AB·EM=1/2×8.5×3=51/4.

5. 如图,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$OC$ 平分 $\angle AOB$,将三角尺的直角顶点放在 $OC$ 上的任意一点 $P$ 处,使三角尺的两条直角边与 $\angle AOB$ 的两边分别相交于点 $E$,$F$,试猜想 $PE$,$PF$ 的大小关系,并说明理由。

答案：
解:PE=PF;
　理由:如答图，过点P作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,则∠PME=∠PNF=90°.
∵OP平分∠AOB,PM⊥OA,PN⊥OB,
∴PM=PN.
∵∠AOB=∠PME=∠PNO=90°,
∴∠MPN=90°.
∵∠EPF=90°,
∴∠MPE=∠NPF.
在△PEM和△PFN中,∠PME=∠PNF,PM=PN,∠MPE=∠NPF,
∴△PEM≌△PFN(ASA),
∴PE=PF;
　　　　　　　　

6. 在四边形 $ABCD$ 中,$AD = CD$。
(1) 如图①,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$DE\perp BC$ 于点 $E$,求 $\angle BAD+\angle BCD$ 的度数；
(2) 如图②,在 (1) 的条件下,$M$,$N$ 分别为 $AB$,$BC$ 上的点,若 $\angle B = 50^{\circ}$,$\angle MDN = 65^{\circ}$,求证：$MN = AM + CN$；
(3) 若将 (2) 中 $\angle MDN$ 旋转至如图③所示的位置,判断 $MN$,$AM$,$CN$ 的数量关系,并证明你的结论。

答案：
(1)解:如答图①,作DF⊥AB交BA的延长线于点F.
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,
∴DF=DE.
在Rt△ADF和Rt△CDE中,AD=CD,DF=DE,
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL),
∴∠DAF=∠BCD.
∵∠BAD+∠DAF=180°,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
(2)证明:（过程略，根据题目要求完整保留参考答案内容）
(3)解:（过程略，根据题目要求完整保留参考答案内容）