《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$的中点,$E$,$F分别是AB$,$AC$上的点,且$AE = AF$. 求证：$DE = DF$.

答案：
1. 证明:如答图，连接AD.
　　　　　　　　
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中,{AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(SAS),
∴DE=DF;

2. 如图①,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$的中点,点$E在AD$上,连接$BE$,$CE$.
(1) 求证：$BE = CE$；
(2) 如图②,若$BE的延长线交AC于点F$,且$BF\perp AC$,垂足为$F$,其他条件不变,求证：$\angle CAD = \angle CBF$.

答案： 2. 证明:
(1)
∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点，
∴AD⊥BC,
∴AD是线段BC的垂直平分线.
∵点E在AD上,
∴BE=CE;
(2)
∵AD⊥BC,BF⊥AC,
∴∠BDE=∠BFA=90°.
∵∠AEB=∠CBF+∠BDE=∠AFB+∠CAD,
∴∠CAD=∠CBF;

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,过点$A作AM\perp BC于点M$,点$D在BA$的延长线上,$E是AC$上一点,且$AE = AD$,连接$DE$. 求证：$DE\perp BC$.

答案：
3. 证明:如答图，延长DE交BC于点F.
　　　　　　　　
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴∠BAC=2∠BAM，∠AMB=90°.
∵AD=AE,
∴∠D=∠AED.
∵∠BAC是△ADE的一个外角，
∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D,
∴∠BAM=∠D,
∴DE//AM,
∴∠AMB=∠DFB=90°,
∴DF⊥BC,即DE⊥BC;